Упр.823 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

823. а) x4 + 9 = 10×2;
б) x4 — 20×2 + 64 = 0;
в) x4 — 14×2 = 15;
г) 5×4 + 3 + 8×2 = 0;
д) x4 + x2 = 0;
е) x4-x2=0.

Подробный ответ

а) $$x^4+9=10x^2$$
Перенесём всё в одну сторону и сделаем замену $$x^2=y$$:
$$x^4-10x^2+9=0$$
$$y^2-10y+9=0$$
$$D=100-36=64,\quad \sqrt{D}=8$$
$$y_1=\frac{10-8}{2}=1,\quad y_2=\frac{10+8}{2}=9$$
Тогда:
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$$
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm3$$
б) $$x^4-20x^2+64=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда:
$$y^2-20y+64=0$$
$$D=400-256=144,\quad \sqrt{D}=12$$
$$y_1=\frac{20-12}{2}=4,\quad y_2=\frac{20+12}{2}=16$$
Следовательно:
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$$
$$x^2=16 \Rightarrow x=\pm4$$
в) $$x^4-14x^2=15$$
Перепишем уравнение:
$$x^4-14x^2-15=0$$
Сделаем замену $$x^2=y$$:
$$y^2-14y-15=0$$
$$D=196+60=256,\quad \sqrt{D}=16$$
$$y_1=\frac{14-16}{2}=-1,\quad y_2=\frac{14+16}{2}=15$$
Так как $$x^2=-1$$ не имеет действительных корней, остаётся:
$$x^2=15 \Rightarrow x=\pm\sqrt{15}$$
г) $$5x^4+3+8x^2=0$$
Перепишем:
$$5x^4+8x^2+3=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда:
$$5y^2+8y+3=0$$
$$D=64-60=4,\quad \sqrt{D}=2$$
$$y_1=\frac{-8-2}{10}=-1,\quad y_2=\frac{-8+2}{10}=-\frac35$$
Оба значения отрицательны, а значит, действительных значений $$x$$ нет.
д) $$x^4+x^2=0$$
Вынесем общий множитель:
$$x^2(x^2+1)=0$$
Отсюда:
$$x^2=0 \Rightarrow x=0$$
$$x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$$ — действительных корней нет.
е) $$x^4-x^2=0$$
Вынесем общий множитель:
$$x^2(x^2-1)=0$$
Отсюда:
$$x^2=0 \Rightarrow x=0$$
$$x^2-1=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$$