Упр.815 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) 1999х2 — 2001х + 2 = 0;
б) (х — 3)(х — 4)(х — 7)(х — 8) = 12.

а) Решим квадратное уравнение $$1999x^2-2001x+2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-2001)^2-4\cdot 1999\cdot 2=4004001-15992=3988009,$$

$$\sqrt{D}=1997.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{2001\pm 1997}{2\cdot 1999}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{2001-1997}{3998}=\frac{4}{3998}=\frac{2}{1999},$$

$$x_2=\frac{2001+1997}{3998}=\frac{3998}{3998}=1.$$

б) Решим уравнение $$\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-7\right)\left(x-8\right)=12.$$

Сгруппируем множители:

$$\left(x-3\right)\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-7\right)=12.$$

Тогда

$$\left(x^2-11x+24\right)\left(x^2-11x+28\right)=12.$$

Сделаем замену:

$$y=x^2-11x.$$

Получим:

$$\left(y+24\right)\left(y+28\right)=12,$$

$$y^2+52y+672=12,$$

$$y^2+52y+660=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=52^2-4\cdot 660=2704-2640=64,$$

$$\sqrt{D}=8.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{-52\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-30,\qquad y_2=-22.$$

Возвращаемся к замене.

1) $$x^2-11x=-30,$$

$$x^2-11x+30=0,$$

$$D=121-120=1,$$

$$x_1=\frac{11-1}{2}=5,\qquad x_2=\frac{11+1}{2}=6.$$

2) $$x^2-11x=-22,$$

$$x^2-11x+22=0,$$

$$D=121-88=33,$$

$$x_{1,2}=\frac{11\pm \sqrt{33}}{2}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{2}{1999},\ 1.$$

б) $$x=5,\ 6,\ \frac{11-\sqrt{33}}{2},\ \frac{11+\sqrt{33}}{2}.$$