Упр.813 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 813. При каком числовом значении t один из корней уравнения х2 — 12х + t = 0 является квадратом другого корня?

Пусть корни уравнения $$x^2-12x+t=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причём один из них является квадратом другого. Тогда можно записать:

$$x_1=x_2^2.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=12, \qquad x_1x_2=t.$$

Подставим $$x_1=x_2^2$$ в первое равенство:

$$x_2^2+x_2-12=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+48=49, \qquad \sqrt{D}=7.$$

$$x_2=\frac{-1-7}{2}=-4, \qquad x_2=\frac{-1+7}{2}=3.$$

Найдём соответствующие значения $$x_1$$:

если $$x_2=-4$$, то $$x_1=(-4)^2=16$$;

если $$x_2=3$$, то $$x_1=3^2=9$$.

Теперь вычислим $$t=x_1x_2$$:

$$t=16\cdot(-4)=-64,$$

$$t=9\cdot 3=27.$$

Ответ

$$t=-64,\; 27.$$