Упр.812 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Может ли квадратное уравнение с рациональными коэффициентами иметь своими корнями числа: а) $$5$$ и $$2+\sqrt{3}$$; б) $$\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{5}$$; в) $$3-\sqrt{2}$$ и $$3+\sqrt{2}$$?

Подробный ответ

Для квадратного уравнения с рациональными коэффициентами сумма и произведение корней должны быть рациональными числами:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$

$$5 \text{ и } 2+\sqrt{3}$$
Сумма корней:
$$5+(2+\sqrt{3})=7+\sqrt{3}$$
Это иррациональное число, значит, такие корни не могут быть корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами.
$$\sqrt{2} \text{ и } \sqrt{5}$$
Сумма корней:
$$\sqrt{2}+\sqrt{5}$$
Это иррациональное число, значит, такие корни тоже не подходят.
$$3-\sqrt{2} \text{ и } 3+\sqrt{2}$$
Сумма корней:
$$\left(3-\sqrt{2}\right)+\left(3+\sqrt{2}\right)=6$$
Произведение корней:
$$\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)=9-2=7$$
И сумма, и произведение рациональны, значит, такие числа могут быть корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами.