Упр.795 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 795. В равнобедренный треугольник с основанием 20 см и высотой 14 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите площадь этого прямоугольника.

Обозначим основание равнобедренного треугольника через $$AC=20$$ см, высоту через $$BH=14$$ см. Тогда $$AH=HC=10$$ см.

Пусть у прямоугольника нижняя сторона $$MT=y$$, а высота $$MN=KT=x$$.

Из подобия треугольников $$BKT$$ и $$BHC$$ получаем:

$$\frac{KT}{HC}=\frac{BH}{HC}=\frac{14}{10}=\frac{7}{5}.$$

Тогда

$$\frac{x}{TC}=\frac{7}{5}.$$

Так как $$TC=10-\frac{1}{2}MT=10-\frac{y}{2},$$ то

$$x=\frac{7}{5}\left(10-\frac{y}{2}\right)=14-\frac{7}{10}y.$$

Площадь прямоугольника:

$$S=xy=y\left(14-\frac{7}{10}y\right)=14y-\frac{7}{10}y^2.$$

Это парабола, ветви направлены вниз, значит, максимум достигается в вершине:

$$y=\frac{-b}{2a}=\frac{14}{2\cdot \frac{7}{10}}=10.$$

Тогда

$$x=14-\frac{7}{10}\cdot 10=7.$$

Следовательно, наибольшая площадь прямоугольника равна

$$S=10\cdot 7=70\text{ см}^2.$$

Ответ

$$70\text{ см}^2$$