Упр.794 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Проволока длиной $$12\ \text{дм}$$ согнута под прямым углом так, что площадь квадрата, построенного на воображаемой гипотенузе, оказалась наименьшей. Определите стороны полученного прямого угла.

Пусть стороны прямого угла равны $$x$$ и $$y$$, тогда длина проволоки:

$$x+y=12.$$

Площадь квадрата, построенного на воображаемой гипотенузе, равна квадрату гипотенузы:

$$S=x^2+y^2.$$

Выразим одну переменную через другую:

$$y=12-x.$$

Тогда

$$S=x^2+(12-x)^2=x^2+144-24x+x^2=2x^2-24x+144.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит, минимум достигается в вершине:

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{24}{2\cdot 2}=6.$$

Тогда

$$y=12-6=6.$$

Следовательно, стороны прямого угла равны $$6$$ дм и $$6$$ дм.

Ответ

$$6\text{ дм и }6\text{ дм}$$