Упр.785 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

у = |ах2 + bх| + с,
если D = b2 — 4ас > 0, а < 0, b < 0, с > О?
Постройте схематически график функции.

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$ax^2+bx.$$

Так как $$D=b^2-4ac>0,$$ то уравнение $$ax^2+bx=0$$ имеет два различных корня:

$$x_1=0,\qquad x_2=-\frac{b}{a}.$$

Поскольку $$a<0,$$ парабола $$y=ax^2+bx$$ ветвями направлена вниз. При этом $$b<0,$$ значит

$$-\frac{b}{a}<0,$$

то есть оба корня отрицательны, а вершина параболы лежит между ними и находится выше оси $$Ox$$.

График функции $$y=\lvert ax^2+bx\rvert+c$$ получается так:

• часть графика параболы $$y=ax^2+bx,$$ лежащую выше оси $$Ox,$$ оставляем без изменений;
• часть, лежащую ниже оси $$Ox,$$ отражаем симметрично относительно оси $$Ox$$;
• затем весь полученный график сдвигаем вверх на $$c$$ единиц.

Так как $$c>0,$$ весь график расположен выше графика $$y=\lvert ax^2+bx\rvert$$ на $$c$$ единиц.

Схематически получается график с двумя ветвями, симметричными относительно прямой $$x=-\frac{b}{2a},$$ и с двумя точками излома в местах, где $$ax^2+bx=0.$$

Ответ

График функции $$y=\lvert ax^2+bx\rvert+c$$ получается из параболы $$y=ax^2+bx$$ отражением её части ниже оси $$Ox$$ относительно этой оси и последующим сдвигом вверх на $$c$$. При $$a<0,$$ $$b<0,$$ $$c>0$$ он расположен выше оси $$Ox$$; точки излома соответствуют корням уравнения $$ax^2+bx=0.$$