Упр.753 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 753. Доказываем. Докажите, что точки А(m; n) и В(n; m) симметричны относительно прямой, делящей I и III координатные углы пополам. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 nikol8 753 827

Пусть точка $$M(x;y)$$ равноудалена от точек $$A(m;n)$$ и $$B(n;m)$$. Тогда

$$AM=BM.$$

Запишем это через формулу расстояния:

$$\sqrt{(m-x)^2+(n-y)^2}=\sqrt{(n-x)^2+(m-y)^2}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$ (m-x)^2+(n-y)^2=(n-x)^2+(m-y)^2. $$

Раскроем скобки:

$$m^2-2mx+x^2+n^2-2ny+y^2=n^2-2nx+x^2+m^2-2my+y^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$-2mx-2ny=-2nx-2my.$$

Перенесём и сгруппируем:

$$2x(n-m)=2y(n-m).$$

Если $$n\ne m$$, то

$$x=y,$$

то есть все точки, равноудалённые от $$A$$ и $$B$$, лежат на прямой $$y=x$$.

Если $$n=m$$, то точки $$A$$ и $$B$$ совпадают, и утверждение также верно.

Прямая $$y=x$$ делит I и III координатные углы пополам, значит точки $$A(m;n)$$ и $$B(n;m)$$ симметричны относительно этой прямой.

Ответ

Точки $$A(m;n)$$ и $$B(n;m)$$ симметричны относительно прямой $$y=x$$.