Упр.738 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а)
$$\frac{x\sqrt{x}-1}{x-4\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+10}{\sqrt{x}-3}$$
Заметим, что
$$x-4\sqrt{x}+3=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3).$$
Тогда
$$\frac{x\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)}-\frac{\sqrt{x}+10}{\sqrt{x}-3} = \frac{x\sqrt{x}-1-(\sqrt{x}+10)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)}.$$
Раскроем скобки:
$$x\sqrt{x}-1-(x+\!9\sqrt{x}-10) = x\sqrt{x}-x-9\sqrt{x}+9.$$
Группируем:
$$x(\sqrt{x}-1)-9(\sqrt{x}-1)=(\sqrt{x}-1)(x-9).$$
Поэтому
$$\frac{(\sqrt{x}-1)(x-9)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)} = \frac{x-9}{\sqrt{x}-3} = \frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}-3} = \sqrt{x}+3.$$
б)
$$\frac{x\sqrt{x}-8}{x-3\sqrt{x}+2}-\frac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-1}$$
Разложим знаменатель:
$$x-3\sqrt{x}+2=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2).$$
Тогда
$$\frac{x\sqrt{x}-8}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)}-\frac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-1} = \frac{x\sqrt{x}-8-(2\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)}.$$
Раскроем скобки:
$$x\sqrt{x}-8-(2x-4\sqrt{x}+5\sqrt{x}-10) = x\sqrt{x}-2x-\sqrt{x}+2.$$
Вынесем общий множитель:
$$x\sqrt{x}-2x-\sqrt{x}+2=(x-1)(\sqrt{x}-2).$$
Тогда
$$\frac{(x-1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)} = \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x}+1.$$
в)
$$\left(\frac{2x\sqrt{y}}{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{y\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\cdot \frac{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}{4\sqrt{x^3y}+\sqrt{xy^3}}$$
Приведём первую скобку к общему знаменателю:
$$\frac{2x\sqrt{y}(2\sqrt{x}+\sqrt{y})-y\sqrt{x}(2\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(2\sqrt{x}-\sqrt{y})(2\sqrt{x}+\sqrt{y})}.$$
Числитель:
$$4x\sqrt{xy}+2xy-2xy+y\sqrt{xy}=4x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}.$$
Тогда
$$\frac{4x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}}{(2\sqrt{x}-\sqrt{y})(2\sqrt{x}+\sqrt{y})}\cdot \frac{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}{4\sqrt{x^3y}+\sqrt{xy^3}}.$$
Сократим на $$(2\sqrt{x}-\sqrt{y})$$ и используем
$$4\sqrt{x^3y}+\sqrt{xy^3}=\sqrt{xy}(4x+y).$$
Получаем
$$\frac{\sqrt{xy}(4x+y)}{(2\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{xy}(4x+y)}=\frac{1}{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$$
г)
$$\left(\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}+\frac{2y\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}\right):\frac{\sqrt{x^3y}+4\sqrt{xy^3}}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}$$
Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{x\sqrt{y}(\sqrt{x}-2\sqrt{y})+2y\sqrt{x}(\sqrt{x}+2\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+2\sqrt{y})(\sqrt{x}-2\sqrt{y})}.$$
Числитель:
$$x\sqrt{xy}-2xy+2xy+4y\sqrt{xy}=\sqrt{xy}(x+4y).$$
Значит,
$$\frac{\sqrt{xy}(x+4y)}{(\sqrt{x}+2\sqrt{y})(\sqrt{x}-2\sqrt{y})} : \frac{\sqrt{xy}(x+4y)}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}.$$
Деление заменяем умножением на обратную дробь:
$$\frac{\sqrt{xy}(x+4y)}{(\sqrt{x}+2\sqrt{y})(\sqrt{x}-2\sqrt{y})}\cdot \frac{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(x+4y)} = \frac{1}{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}.$$