Упр.736 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 736

1. а)
   $$\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+1\right):\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}:\frac{1}{\sqrt{x}+1}$$

   Деление на дробь заменяем умножением на обратную:
   $$\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{1}=2\sqrt{x}+1.$$

2. б)
   $$\left(\sqrt{a}-\frac{1}{1+\sqrt{a}}\right)\cdot\frac{\sqrt{a}+1}{1-\sqrt{a}-a}$$

   Преобразуем первую скобку:
   $$\sqrt{a}-\frac{1}{1+\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}(1+\sqrt{a})-1}{1+\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}+a-1}{1+\sqrt{a}}.$$

   Тогда
   $$\frac{\sqrt{a}+a-1}{1+\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}+1}{1-\sqrt{a}-a}.$$
   Так как
   $$1-\sqrt{a}-a=-(\sqrt{a}+a-1),$$
   получаем
   $$\frac{\sqrt{a}+a-1}{1+\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}+1}{-(\sqrt{a}+a-1)}=-1.$$

3. в)
   $$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x-y}$$

   Используем разложение
   $$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}).$$
   Тогда
   $$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})-(x\sqrt{x}-y\sqrt{y})}{x-y}.$$

   Раскроем скобки:
   $$\frac{x\sqrt{x}+x\sqrt{y}-y\sqrt{x}-y\sqrt{y}-x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-y} =\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{x-y}.$$

   В числителе вынесем общий множитель:
   $$x\sqrt{y}-y\sqrt{x}=\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y}).$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} =\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$$

4. г)
   $$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-6}-\frac{3}{\sqrt{m}+6}+\frac{m}{36-m}$$

   Так как
   $$36-m=-(m-36)=-(\sqrt{m}-6)(\sqrt{m}+6),$$
   то
   $$\frac{m}{36-m}=-\frac{m}{(\sqrt{m}-6)(\sqrt{m}+6)}.$$

   Приведём первые две дроби к общему знаменателю:
   $$\frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}+6)-3(\sqrt{m}-6)-m}{(\sqrt{m}-6)(\sqrt{m}+6)}.$$

   Упростим числитель:
   $$m+6\sqrt{m}-3\sqrt{m}+18-m=3\sqrt{m}+18=3(\sqrt{m}+6).$$

   Тогда
   $$\frac{3(\sqrt{m}+6)}{(\sqrt{m}-6)(\sqrt{m}+6)}=\frac{3}{\sqrt{m}-6}.$$

Ответ

а) $$2\sqrt{x}+1$$

б) $$-1$$

в) $$\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$

г) $$\frac{3}{\sqrt{m}-6}$$