Упр.734 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 734
$$\frac{1}{\sqrt{x-y}}=\frac{\sqrt{x-y}}{(\sqrt{x-y})^2}=\frac{\sqrt{x-y}}{x-y}.$$
$$\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}=\frac{(a+b)\sqrt{a+b}}{(\sqrt{a+b})^2}=\frac{(a+b)\sqrt{a+b}}{a+b}=\sqrt{a+b}.$$
$$\frac{a-b}{\sqrt{a^2-b^2}}=\frac{(a-b)\sqrt{a^2-b^2}}{(\sqrt{a^2-b^2})^2}=\frac{(a-b)\sqrt{a^2-b^2}}{a^2-b^2}.$$
Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ то
$$\frac{(a-b)\sqrt{a^2-b^2}}{a^2-b^2}=\frac{(a-b)\sqrt{a^2-b^2}}{(a-b)(a+b)}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}.$$$$\frac{a}{\sqrt{a}-a}=\frac{a(\sqrt{a}+a)}{(\sqrt{a}-a)(\sqrt{a}+a)}=\frac{a(\sqrt{a}+a)}{a-a^2}.$$
$$a-a^2=a(1-a),$$ поэтому
$$\frac{a(\sqrt{a}+a)}{a-a^2}=\frac{a(\sqrt{a}+a)}{a(1-a)}=\frac{\sqrt{a}+a}{1-a}.$$$$\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}=\sqrt{a}-\sqrt{b}.$$
$$\frac{m-n}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}=\frac{(m-n)(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}=\frac{(m-n)(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{m-n}=\sqrt{m}+\sqrt{n}.$$
$$\frac{\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3}}=\frac{(\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3})^2}{(\sqrt{x-3})^2-(\sqrt{x+3})^2}.$$
Тогда
$$\frac{(\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3})^2}{(\sqrt{x-3})^2-(\sqrt{x+3})^2}=\frac{x-3+2\sqrt{x^2-9}+x+3}{x-3-(x+3)}=\frac{2x+2\sqrt{x^2-9}}{-6}.$$$$\frac{2x+2\sqrt{x^2-9}}{-6}=\frac{x+\sqrt{x^2-9}}{-3}.$$
$$\frac{\sqrt{a-b}-\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}=\frac{(\sqrt{a-b}-\sqrt{a+b})^2}{(\sqrt{a-b})^2-(\sqrt{a+b})^2}.$$
Получаем
$$\frac{a-b-2\sqrt{(a-b)(a+b)}+a+b}{a-b-(a+b)}=\frac{2a-2\sqrt{a^2-b^2}}{-2b}.$$$$\frac{2a-2\sqrt{a^2-b^2}}{-2b}=\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{-b}.$$
Ответ
а) $$\frac{\sqrt{x-y}}{x-y}$$; б) $$\sqrt{a+b}$$; в) $$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}$$; г) $$\frac{\sqrt{a}+a}{1-a}$$; д) $$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$; е) $$\sqrt{m}+\sqrt{n}$$; ж) $$\frac{x+\sqrt{x^2-9}}{-3}$$; з) $$\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{-b}$$.
