Упр.728 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 728- Задача Евклида. Докажите равенство

Рассмотрим квадратное уравнение

$$x^2-ax+\frac14b=0.$$

Его дискриминант равен

$$D=a^2-4\cdot \frac14 b=a^2-b.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b}}{2}.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=a,$$

$$x_1x_2=\frac14 b.$$

Отсюда

$$2\sqrt{x_1x_2}=\sqrt{b}.$$

Тогда

$$x_1+2\sqrt{x_1x_2}+x_2=a+\sqrt{b}.$$

Но левая часть — это квадрат суммы:

$$\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=a+\sqrt{b}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{a+\sqrt{b}}.$$

Подставляя значения $x_1$ и $x_2$, получаем

$$\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}=\sqrt{a+\sqrt{b}}.$$

Ответ

$$\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}=\sqrt{a+\sqrt{b}}.$$