Упр.723 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 723

а) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ -\frac{48}{a^3+64}+\frac{1}{a+4}+\frac{4}{a^2-4a+16} = -\frac{48}{(a+4)(a^2-4a+16)}+\frac{1}{a+4}+\frac{4}{a^2-4a+16}. $$

$$ = \frac{-48+a^2-4a+16+4(a+4)}{(a+4)(a^2-4a+16)} = \frac{a^2-16}{(a+4)(a^2-4a+16)}. $$

$$ a^2-16=(a-4)(a+4), $$
поэтому
$$ \frac{a^2-16}{(a+4)(a^2-4a+16)} = \frac{(a-4)(a+4)}{(a+4)(a^2-4a+16)} = \frac{a-4}{a^2-4a+16}. $$

б) Разложим знаменатели на множители:

$$ x^2+3x+2=(x+1)(x+2), \qquad x^2+5x+6=(x+2)(x+3). $$

Тогда

$$ \frac{1}{x^2+3x+2}-\frac{2}{(x+1)(x^2+5x+6)} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ = \frac{x+3-2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{1}{(x+2)(x+3)}. $$

Область допустимых значений:

$$ x \ne -1,\,-2,\,-3. $$

Ответ

а) $$\frac{a-4}{a^2-4a+16}$$

б) $$\frac{1}{(x+2)(x+3)}$$, $$x \ne -1,\,-2,\,-3$$