Упр.720 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 720

а) Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{a+b}+\frac{a-b}{a^2-ab+b^2}-\frac{a(a-b)}{a^3+b^3} $$

Так как

$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2), $$

то

$$ \frac{1}{a+b}+\frac{a-b}{a^2-ab+b^2}-\frac{a(a-b)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} $$

$$ =\frac{a^2-ab+b^2+(a-b)(a+b)-a(a-b)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}. $$

Упростим числитель:

$$ a^2-ab+b^2+(a^2-b^2)-a^2+ab=a^2. $$

Тогда

$$ \frac{a^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}=\frac{a^2}{a^3+b^3}. $$

б) Приведём выражение к общему знаменателю:

$$ \frac{x}{x-y}+\frac{y^2}{x^2+xy+y^2}-\frac{xy(x+2y)}{x^3-y^3} $$

Так как

$$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), $$

то

$$ \frac{x(x^2+xy+y^2)+y^2(x-y)-xy(x+2y)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}. $$

Упростим числитель:

$$ x^3+x^2y+xy^2+xy^2-y^3-x^2y-2xy^2=x^3-y^3. $$

Следовательно,

$$ \frac{x^3-y^3}{x^3-y^3}=1. $$

Ответ

а) $$\frac{a^2}{a^3+b^3}$$;
б) $$1$$.