Упр.720 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a+b}+\frac{a-b}{a^2-ab+b^2}-\frac{a(a-b)}{a^3+b^3}$$

Так как

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$

то

$$\frac{1}{a+b}+\frac{a-b}{a^2-ab+b^2}-\frac{a(a-b)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}$$

$$=\frac{a^2-ab+b^2+(a-b)(a+b)-a(a-b)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}.$$

Упростим числитель:

$$a^2-ab+b^2+(a^2-b^2)-a^2+ab=a^2.$$

Тогда

$$\frac{a^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}=\frac{a^2}{a^3+b^3}.$$

б) Приведём выражение к общему знаменателю:

$$\frac{x}{x-y}+\frac{y^2}{x^2+xy+y^2}-\frac{xy(x+2y)}{x^3-y^3}$$

Так как

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$

то

$$\frac{x(x^2+xy+y^2)+y^2(x-y)-xy(x+2y)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}.$$

Упростим числитель:

$$x^3+x^2y+xy^2+xy^2-y^3-x^2y-2xy^2=x^3-y^3.$$

Следовательно,

$$\frac{x^3-y^3}{x^3-y^3}=1.$$

Ответ

а) $$\frac{a^2}{a^3+b^3}$$;
б) $$1$$.