Упр.715 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 715
а)
$$\frac{a+b}{(b-c)(c-a)}+\frac{b+c}{(a-c)(b-a)}-\frac{a+c}{(a-b)(c-b)}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a+b}{(b-c)(c-a)}-\frac{b+c}{(c-a)(b-a)}+\frac{a+c}{(b-a)(b-c)}$$$$=\frac{(a+b)(b-a)-(b+c)(b-c)-(a+c)(c-a)}{(b-c)(c-a)(b-a)}$$
Числитель:
$$ (a+b)(b-a)=b^2-a^2, \quad (b+c)(b-c)=b^2-c^2, \quad (a+c)(c-a)=c^2-a^2 $$Тогда
$$\frac{b^2-a^2-b^2+c^2-c^2+a^2}{(b-c)(c-a)(b-a)}=\frac{0}{(b-c)(c-a)(b-a)}=0.$$б)
$$\frac{1}{(m-n)(n-p)}+\frac{1}{(p-n)(n-q)}+\frac{1}{(q-n)(n-m)}$$
Так как $$p-n=-(n-p)$$ и $$q-n=-(n-q),$$ получаем
$$\frac{1}{(m-n)(n-p)}-\frac{1}{(n-p)(n-q)}+\frac{1}{(n-q)(m-n)}.$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{n-q-m+n+n-p}{(m-n)(n-p)(n-q)}$$$$=\frac{3n-m-p-q}{(m-n)(n-p)(n-q)}.$$
в)
$$\frac{1}{(x-y)(y-z)}-\frac{1}{(z-y)(z-x)}+\frac{1}{(y-x)(x-z)}$$
Используем равенства $$z-y=-(y-z), \; y-x=-(x-y):$$
$$\frac{1}{(x-y)(y-z)}+\frac{1}{(y-z)(z-x)}+\frac{1}{(x-y)(z-x)}.$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{z-x+x-y+y-z}{(x-y)(y-z)(z-x)}=\frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0.$$г)
$$\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x+y}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}$$$$=\frac{x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2}{x^2-y^2}=\frac{4xy}{x^2-y^2}.$$
д)
$$\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}+\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}-2$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(m^2-n^2)^2+(m^2+n^2)^2-2(m^4-n^4)}{(m^2+n^2)(m^2-n^2)}$$$$=\frac{m^4-2m^2n^2+n^4+m^4+2m^2n^2+n^4-2m^4+2n^4}{(m^2+n^2)(m^2-n^2)}$$
$$=\frac{4n^4}{m^4-n^4}.$$
Ответ
а) $$0$$; б) $$\frac{3n-m-p-q}{(m-n)(n-p)(n-q)}$$; в) $$0$$; г) $$\frac{4xy}{x^2-y^2}$$; д) $$\frac{4n^4}{m^4-n^4}$$.
