Упр.652 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 652

Подробный ответ

а)

$$ \frac{1}{3+2\sqrt2}+\frac{1}{3-2\sqrt2} = \frac{3-2\sqrt2+3+2\sqrt2}{(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)} = \frac{6}{9-(2\sqrt2)^2} = \frac{6}{9-8} = 6. $$
Следовательно, равенство верно.

б)

$$ \frac{1}{\sqrt6-\sqrt5}-\frac{3}{\sqrt5-\sqrt2}-\frac{4}{\sqrt6+\sqrt2}=0. $$
Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2)-3(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt6+\sqrt2)-4(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt5-\sqrt2)} {(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ (\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2)=\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{12}-2, $$
$$ 3(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt6+\sqrt2)=3(6+\sqrt{12}-\sqrt{30}-\sqrt{10}), $$
$$ 4(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt5-\sqrt2)=4(\sqrt{30}-\sqrt{12}-5+\sqrt{10}). $$

Тогда числитель равен

$$ \sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{12}-2-18-3\sqrt{12}+3\sqrt{30}+3\sqrt{10}-4\sqrt{30}+4\sqrt{12}+20-4\sqrt{10}=0. $$

Значит, вся дробь равна нулю, и равенство верно.