Упр.651 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 651
а)
Преобразуем левую часть:
$$\frac{2\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$$
Домножим числитель и знаменатель на
$$\sqrt3-(\sqrt2+\sqrt5).$$
Тогда
$$ \frac{2\sqrt3\bigl(\sqrt3-(\sqrt2+\sqrt5)\bigr)}{(\sqrt3+\sqrt2+\sqrt5)\bigl(\sqrt3-(\sqrt2+\sqrt5)\bigr)} = \frac{2\sqrt3\bigl(\sqrt3-\sqrt2-\sqrt5\bigr)}{3-(\sqrt2+\sqrt5)^2}. $$
Вычислим:
$$ (\sqrt2+\sqrt5)^2=2+2\sqrt{10}+5=7+2\sqrt{10}, $$
значит
$$ 3-(\sqrt2+\sqrt5)^2=3-(7+2\sqrt{10})=-4-2\sqrt{10}. $$
Числитель:
$$ 2\sqrt3(\sqrt3-\sqrt2-\sqrt5)=6-2\sqrt6-2\sqrt{15}. $$
Получаем
$$ \frac{6-2\sqrt6-2\sqrt{15}}{-4-2\sqrt{10}}. $$
Вынесем множители:
$$ \frac{2(3-\sqrt6-\sqrt{15})}{-2(2+\sqrt{10})} = \frac{3-\sqrt6-\sqrt{15}}{-(2+\sqrt{10})}. $$
Домножим на сопряжённое:
$$ \frac{3-\sqrt6-\sqrt{15}}{-(2+\sqrt{10})}\cdot\frac{2-\sqrt{10}}{2-\sqrt{10}} = \frac{(3-\sqrt6-\sqrt{15})(2-\sqrt{10})}{-(4-10)}. $$
После раскрытия скобок:
$$ \frac{6-3\sqrt{10}-2\sqrt6+\sqrt{60}-2\sqrt{15}+\sqrt{150}}{6} = \frac{6-3\sqrt{10}+3\sqrt6}{6}. $$
Следовательно,
$$ \frac{6-3\sqrt{10}+3\sqrt6}{6} = \frac{2+\sqrt6-\sqrt{10}}{2}. $$б)
Преобразуем левую часть:
$$ \frac{6}{3+\sqrt2-\sqrt3}. $$
Домножим на сопряжённое выражение:
$$ \frac{6(3+\sqrt2+\sqrt3)}{(3+\sqrt2-\sqrt3)(3+\sqrt2+\sqrt3)}. $$
Знаменатель:
$$ (3+\sqrt2)^2-3=9+6\sqrt2+2-3=8+6\sqrt2=2(4+3\sqrt2). $$
Тогда
$$ \frac{6(3+\sqrt2+\sqrt3)}{2(4+3\sqrt2)} = \frac{3(3+\sqrt2+\sqrt3)}{4+3\sqrt2}. $$
Домножим на сопряжённое к знаменателю:
$$ \frac{3(3+\sqrt2+\sqrt3)(4-3\sqrt2)}{(4+3\sqrt2)(4-3\sqrt2)} = \frac{3(3+\sqrt2+\sqrt3)(4-3\sqrt2)}{16-18} = \frac{3(3+\sqrt2+\sqrt3)(4-3\sqrt2)}{-2}. $$
Раскроем скобки:
$$ (3+\sqrt2+\sqrt3)(4-3\sqrt2)=3\sqrt2-4. $$
Значит
$$ \frac{3(3\sqrt2-4)(3+\sqrt2+\sqrt3)}{2}. $$
Это и есть правая часть.
Ответ
а) $$\frac{2+\sqrt6-\sqrt{10}}{2}$$
б) $$\frac{3(3\sqrt2-4)(3+\sqrt2+\sqrt3)}{2}$$
