Упр.650 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

650 а) корень (корень 5 — корень (3 — корень (29-12 корень 5))) = 1;
б) корень (6 + 2 корень (5 — корень (13 + корень 48))) = корень 3 + 1.

Подробный ответ

а)

$$ \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt5}}} $$

Преобразуем внутренний корень:
$$ 29-12\sqrt5=20+9-12\sqrt5=(\sqrt{20}-3)^2 $$
Тогда
$$ \sqrt{29-12\sqrt5}=\sqrt{20}-3=2\sqrt5-3 $$
и
$$ 3-\sqrt{29-12\sqrt5}=3-(2\sqrt5-3)=6-2\sqrt5. $$
Заметим, что
$$ 6-2\sqrt5=5-2\sqrt5+1=(\sqrt5-1)^2. $$
Следовательно,
$$ \sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt5}}=\sqrt{(\sqrt5-1)^2}=\sqrt5-1. $$
Тогда
$$ \sqrt{\sqrt5-(\sqrt5-1)}=\sqrt1=1. $$

б)

$$ \sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}} $$

Так как
$$ \sqrt{48}=4\sqrt3, $$
то
$$ \sqrt{13+\sqrt{48}}=\sqrt{13+4\sqrt3}. $$
Представим подкоренное выражение в виде квадрата:
$$ 13+4\sqrt3=12+1+4\sqrt3=(\sqrt{12}+1)^2=(2\sqrt3+1)^2. $$
Значит,
$$ \sqrt{13+\sqrt{48}}=2\sqrt3+1. $$
Тогда
$$ 5-\sqrt{13+\sqrt{48}}=5-(2\sqrt3+1)=4-2\sqrt3. $$
Заметим, что
$$ 4-2\sqrt3=3-2\sqrt3+1=(\sqrt3-1)^2. $$
Следовательно,
$$ \sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}=\sqrt{(\sqrt3-1)^2}=\sqrt3-1. $$
Теперь
$$ \sqrt{6+2(\sqrt3-1)}=\sqrt{4+2\sqrt3}. $$
И снова представим подкоренное выражение как квадрат:
$$ 4+2\sqrt3=3+1+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2. $$
Значит,
$$ \sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt{(\sqrt3+1)^2}=\sqrt3+1. $$