Упр.650 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите справедливость равенства (650—652):
а) $$\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}=1$$;
б) $$\sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}=\sqrt{3}+1$$.

Подробный ответ

а)

$$\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt5}}}$$

Преобразуем внутренний корень:
$$29-12\sqrt5=20+9-12\sqrt5=(\sqrt{20}-3)^2$$
Тогда
$$\sqrt{29-12\sqrt5}=\sqrt{20}-3=2\sqrt5-3$$
и
$$3-\sqrt{29-12\sqrt5}=3-(2\sqrt5-3)=6-2\sqrt5.$$
Заметим, что
$$6-2\sqrt5=5-2\sqrt5+1=(\sqrt5-1)^2.$$
Следовательно,
$$\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt5}}=\sqrt{(\sqrt5-1)^2}=\sqrt5-1.$$
Тогда
$$\sqrt{\sqrt5-(\sqrt5-1)}=\sqrt1=1.$$

б)

$$\sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}$$

Так как
$$\sqrt{48}=4\sqrt3,$$
то
$$\sqrt{13+\sqrt{48}}=\sqrt{13+4\sqrt3}.$$
Представим подкоренное выражение в виде квадрата:
$$13+4\sqrt3=12+1+4\sqrt3=(\sqrt{12}+1)^2=(2\sqrt3+1)^2.$$
Значит,
$$\sqrt{13+\sqrt{48}}=2\sqrt3+1.$$
Тогда
$$5-\sqrt{13+\sqrt{48}}=5-(2\sqrt3+1)=4-2\sqrt3.$$
Заметим, что
$$4-2\sqrt3=3-2\sqrt3+1=(\sqrt3-1)^2.$$
Следовательно,
$$\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}=\sqrt{(\sqrt3-1)^2}=\sqrt3-1.$$
Теперь
$$\sqrt{6+2(\sqrt3-1)}=\sqrt{4+2\sqrt3}.$$
И снова представим подкоренное выражение как квадрат:
$$4+2\sqrt3=3+1+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2.$$
Значит,
$$\sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt{(\sqrt3+1)^2}=\sqrt3+1.$$