Упр.646 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 646

1. $$\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}-\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}= \frac{(\sqrt3+\sqrt2)^2-(\sqrt3-\sqrt2)^2}{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)}$$

   $$=\frac{(3+2\sqrt6+2)-(3-2\sqrt6+2)}{3-2} =\frac{4\sqrt6}{1}=4\sqrt6.$$

2. $$\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}+\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}-\frac{\sqrt2+3}{\sqrt2}$$

   Приведём первые две дроби к общему знаменателю:
   $$\frac{\sqrt2(\sqrt2+1)^2+\sqrt2(\sqrt2-1)^2-(\sqrt2+3)(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}{\sqrt2(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}.$$

   Так как $$ (\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=2-1=1, $$ получаем
   $$\frac{\sqrt2(2+2\sqrt2+1)+\sqrt2(2-2\sqrt2+1)-(\sqrt2+3)}{\sqrt2}.$$

   $$=\frac{(3\sqrt2+4)+(3\sqrt2-4)-\sqrt2-3}{\sqrt2} =\frac{5\sqrt2-3}{\sqrt2} =5-\frac{3}{\sqrt2}.$$

3. $$\frac{(\sqrt5+\sqrt3)(4-\sqrt{15})}{\sqrt5-\sqrt3}$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt5+\sqrt3$$:
   $$\frac{(\sqrt5+\sqrt3)^2(4-\sqrt{15})}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)}.$$

   Тогда
   $$=\frac{(5+2\sqrt{15}+3)(4-\sqrt{15})}{5-3} =\frac{(8+2\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}{2}.$$

   $$=2(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15}) =2(16-15)=2.$$

4. $$\frac{(\sqrt{75}+\sqrt{50})(5-2\sqrt6)}{\sqrt3-\sqrt2}$$

   Преобразуем корни:
   $$\sqrt{75}=5\sqrt3,\qquad \sqrt{50}=5\sqrt2.$$

   Тогда
   $$\frac{5(\sqrt3+\sqrt2)(5-2\sqrt6)}{\sqrt3-\sqrt2}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt3+\sqrt2$$:
   $$\frac{5(\sqrt3+\sqrt2)^2(5-2\sqrt6)}{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)}.$$

   $$=\frac{5(3+2\sqrt6+2)(5-2\sqrt6)}{3-2} =5(5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6).$$

   $$=5(25-24)=5.$$

Ответ

а) $$4\sqrt6$$; б) $$5-\frac{3}{\sqrt2}$$; в) $$2$$; г) $$5$$.