Упр.637 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) 5 корень 12 и 3 корень 27;
б) корень 27 и 3 корень 2;
в) 2 корень 50 и 3 корень 32;
г) 3 корень 3/8 и корень 3/2;
д) 2 корень 4/75 и 3 корень 25/243;
е) 5 корень 45/72 и 4 корень 45/32;
ж) корень 2006 + корень 2008 и 2 корень 2007;
з) корень 2007 + корень 2009 и 2 корень 2008.

1. а) $$5\sqrt{12} \; \text{и} \; 3\sqrt{27}$$

   Сравним квадраты:

   $$\left(5\sqrt{12}\right)^2=25\cdot 12=300,$$

   $$\left(3\sqrt{27}\right)^2=9\cdot 27=243.$$

   Так как $$300>243,$$ то $$5\sqrt{12}>3\sqrt{27}.$$

2. б) $$\sqrt{27} \; \text{и} \; 3\sqrt{2}$$

   $$\left(\sqrt{27}\right)^2=27,\qquad \left(3\sqrt{2}\right)^2=18.$$

   Следовательно, $$\sqrt{27}>3\sqrt{2}.$$

3. в) $$2\sqrt{50} \; \text{и} \; 3\sqrt{32}$$

   $$\left(2\sqrt{50}\right)^2=4\cdot 50=200,$$

   $$\left(3\sqrt{32}\right)^2=9\cdot 32=288.$$

   Так как $$200<288,$$ то $$2\sqrt{50}<3\sqrt{32}.$$

4. г) $$3\sqrt{\frac{3}{8}} \; \text{и} \; \sqrt{\frac{3}{2}}$$

   $$\left(3\sqrt{\frac{3}{8}}\right)^2=9\cdot \frac{3}{8}=\frac{27}{8},$$

   $$\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2=\frac{3}{2}=\frac{12}{8}.$$

   Так как $$\frac{27}{8}>\frac{12}{8},$$ то $$3\sqrt{\frac{3}{8}}>\sqrt{\frac{3}{2}}.$$

5. д) $$2\sqrt{\frac{4}{75}} \; \text{и} \; 3\sqrt{\frac{25}{243}}$$

   $$\left(2\sqrt{\frac{4}{75}}\right)^2=4\cdot \frac{4}{75}=\frac{16}{75},$$

   $$\left(3\sqrt{\frac{25}{243}}\right)^2=9\cdot \frac{25}{243}=\frac{25}{27}.$$

   Так как $$\frac{16}{75}<\frac{25}{27},$$ то $$2\sqrt{\frac{4}{75}}<3\sqrt{\frac{25}{243}}.$$

6. е) $$5\sqrt{\frac{45}{72}} \; \text{и} \; 4\sqrt{\frac{45}{32}}$$

   $$\left(5\sqrt{\frac{45}{72}}\right)^2=25\cdot \frac{45}{72}=\frac{1125}{72},$$

   $$\left(4\sqrt{\frac{45}{32}}\right)^2=16\cdot \frac{45}{32}=\frac{45}{2}.$$

   Сравним:

   $$\frac{1125}{72}<\frac{45}{2},$$

   значит, $$5\sqrt{\frac{45}{72}}<4\sqrt{\frac{45}{32}}.$$

7. ж) $$\sqrt{2006}+\sqrt{2008} \; \text{и} \; 2\sqrt{2007}$$

   Возведём в квадрат:

   $$\left(\sqrt{2006}+\sqrt{2008}\right)^2=2006+2008+2\sqrt{2006\cdot 2008},$$

   $$\left(2\sqrt{2007}\right)^2=4\cdot 2007.$$

   Нужно проверить:

   $$2006+2008+2\sqrt{2006\cdot 2008}<4\cdot 2007.$$

   $$4014+2\sqrt{2006\cdot 2008}<8028,$$

   $$2\sqrt{2006\cdot 2008}<4014,$$

   $$\sqrt{2006\cdot 2008}<2007.$$

   Возведём в квадрат:

   $$2006\cdot 2008<2007^2.$$

   $$2006\cdot 2008=4\,028\,048,\qquad 2007^2=4\,028\,049.$$

   Следовательно, $$\sqrt{2006}+\sqrt{2008}<2\sqrt{2007}.$$

8. з) $$\sqrt{2007}+\sqrt{2009} \; \text{и} \; 2\sqrt{2008}$$

   Возведём в квадрат:

   $$\left(\sqrt{2007}+\sqrt{2009}\right)^2=2007+2009+2\sqrt{2007\cdot 2009},$$

   $$\left(2\sqrt{2008}\right)^2=4\cdot 2008.$$

   Проверим неравенство:

   $$2007+2009+2\sqrt{2007\cdot 2009}<4\cdot 2008,$$

   $$4016+2\sqrt{2007\cdot 2009}<8032,$$

   $$2\sqrt{2007\cdot 2009}<4016,$$

   $$\sqrt{2007\cdot 2009}<2008.$$

   Возведём в квадрат:

   $$2007\cdot 2009<2008^2.$$

   $$2007\cdot 2009=4\,032\,063,\qquad 2008^2=4\,032\,064.$$

   Значит, $$\sqrt{2007}+\sqrt{2009}<2\sqrt{2008}.$$

Ответ

а) $$5\sqrt{12}>3\sqrt{27}$$; б) $$\sqrt{27}>3\sqrt{2}$$; в) $$2\sqrt{50}<3\sqrt{32}$$; г) $$3\sqrt{\frac{3}{8}}>\sqrt{\frac{3}{2}}$$; д) $$2\sqrt{\frac{4}{75}}<3\sqrt{\frac{25}{243}}$$; е) $$5\sqrt{\frac{45}{72}}<4\sqrt{\frac{45}{32}}$$; ж) $$\sqrt{2006}+\sqrt{2008}<2\sqrt{2007}$$; з) $$\sqrt{2007}+\sqrt{2009}<2\sqrt{2008}$$.