Упр.625 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Найдите наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для чисел:
1) 5^2 * 7^4 и 490 * 175;
2) 2^5 * 3 * 7, 3^4 * 5^4 * 7^2 и 10 000.
в) На какую наибольшую степень числа 7 делится произведение 1 * 2 * 3 * … * 99 * 100?

а) Разложим числа от $1$ до $15$ на простые множители и соберём степени одинаковых простых чисел:

$$ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (2^2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3) \cdot 3^2 \cdot (2 \cdot 5) \cdot 11 \cdot (2^2 \cdot 3) \cdot 13 \cdot (2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5) $$
$$ = 1 \cdot 2^{1+2+1+3+1+2+1} \cdot 3^{1+1+2+1+1} \cdot 5^{1+1+1} \cdot 7^{1+1} \cdot 11 \cdot 13 $$
$$ = 1 \cdot 2^{11} \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13. $$

б1) Найдём разложения на простые множители:

$$ 490 \cdot 175 = (7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5)(5 \cdot 5 \cdot 7)=2 \cdot 5^3 \cdot 7^3. $$

Тогда

$$ \gcd(5^2 \cdot 7^4,\; 490 \cdot 175)=5^2 \cdot 7^3=25 \cdot 343=8575, $$
$$ \operatorname{lcm}(5^2 \cdot 7^4,\; 490 \cdot 175)=2 \cdot 5^3 \cdot 7^4=2 \cdot 125 \cdot 2401=600250. $$

б2) Приведём все числа к простым множителям:

$$ 2^5 \cdot 3 \cdot 7,\qquad 3^4 \cdot 5^4 \cdot 7^2,\qquad 10000=10^4=2^4 \cdot 5^4. $$

Общих простых множителей у всех трёх чисел нет, значит

$$ \gcd=1. $$

Для НОК берём наибольшие степени всех простых чисел:

$$ \operatorname{lcm}=2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^4 \cdot 7^2 =32 \cdot 81 \cdot 625 \cdot 49 =79380000. $$

в) Найдём наибольшую степень числа $7$, на которую делится произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 100$.

Считаем, сколько множителей $7$ содержится в числах от $1$ до $100$:

$$ \left\lfloor \frac{100}{7} \right\rfloor = 14,\qquad \left\lfloor \frac{100}{49} \right\rfloor = 2. $$

Тогда показатель степени числа $7$ в произведении равен

$$ 14+2=16. $$

Значит, произведение делится на $7^{16}$.

Ответ

а) $1 \cdot 2^{11} \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13$;
б1) $\gcd=8575$, $\operatorname{lcm}=600250$;
б2) $\gcd=1$, $\operatorname{lcm}=79380000$;
в) $7^{16}$.