Упр.622 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Сравните

Сравним дроби

$$\frac{3^{1997}+1}{3^{1998}+1}\quad \text{и}\quad \frac{3^{1998}+1}{3^{1999}+1}.$$

Проверим, какая из них больше, вычтя левую дробь из правой:

$$\frac{3^{1998}+1}{3^{1999}+1}-\frac{3^{1997}+1}{3^{1998}+1} = \frac{(3^{1998}+1)(3^{1998}+1)-(3^{1997}+1)(3^{1999}+1)}{(3^{1999}+1)(3^{1998}+1)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(3^{1998}+1)^2-(3^{1997}+1)(3^{1999}+1)$$

$$=3^{3996}+2\cdot 3^{1998}+1-\left(3^{3996}+3^{1997}+3^{1999}+1\right).$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$2\cdot 3^{1998}-3^{1997}-3^{1999} =3^{1997}(2\cdot 3-1-3^2) =3^{1997}(6-1-9) =-4\cdot 3^{1997}.$$

Тогда

$$\frac{3^{1998}+1}{3^{1999}+1}-\frac{3^{1997}+1}{3^{1998}+1} = \frac{-4\cdot 3^{1997}}{(3^{1999}+1)(3^{1998}+1)}<0.$$

Значит, правая дробь меньше левой.

Ответ

$$\frac{3^{1997}+1}{3^{1998}+1}>\frac{3^{1998}+1}{3^{1999}+1}.$$