Упр.612 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) система
(x + у)(х2 + у2) = 539 200,
(x — У)(х2 — У2) = 78 400;
б) система
ху + х + у = 573,
х2 + у2 — х — у = 1716.

а) Обозначим $$a=x-y,$$ $$b=x+y.$$ Тогда

$$ab=(x-y)(x+y)=x^2-y^2,$$

а также

$$a^2+b^2=(x-y)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2).$$

Из системы получаем:

$$ \begin{cases} \dfrac{a^2+b^2}{2}=539200,\\ ab=78400. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$2b$$:

$$b(a^2+b^2)=1078400.$$

Так как $$a^2=\dfrac{78400}{b},$$ то

$$ b\left(\dfrac{78400}{b}+b^2\right)=1078400, $$

$$78400+b^3=1078400,$$

$$b^3=1000000,$$

$$b=100.$$

Тогда

$$a^2=\dfrac{78400}{100}=784,$$

$$a=\pm 28.$$

1) Если $$a=28,$$ $$b=100,$$ то

$$ \begin{cases} x-y=28,\\ x+y=100 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=128,\\ 2y=72 \end{cases} \Rightarrow x=64,\ y=36. $$

2) Если $$a=-28,$$ $$b=100,$$ то

$$ \begin{cases} x-y=-28,\\ x+y=100 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=72,\\ 2y=128 \end{cases} \Rightarrow x=36,\ y=64. $$

б) Обозначим $$a=x+y,$$ $$b=xy.$$ Тогда

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=a^2-2b.$$

Из системы имеем:

$$ \begin{cases} a+b=573,\\ a^2-2b-a=1716. \end{cases} $$

Подставим $$b=573-a$$ во второе уравнение:

$$a^2-2(573-a)-a=1716,$$

$$a^2-1146+2a-a-1716=0,$$

$$a^2+a-2862=0.$$

Дискриминант:

$$D=1+4\cdot 2862=11449=107^2.$$

Тогда

$$ a_{1,2}=\frac{-1\pm 107}{2}, $$

откуда

$$a_1=-54,\quad a_2=53.$$

1) Если $$a=-54,$$ то $$b=573-(-54)=627.$$ Получаем

$$ \begin{cases} x+y=-54,\\ xy=627 \end{cases} $$

Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2+54t+627=0.$$

$$D=54^2-4\cdot 627=2916-2508=408=4\cdot 102,$$

$$ t=\frac{-54\pm 2\sqrt{102}}{2}=-27\pm \sqrt{102}. $$

Значит, $$\{x,y\}=\{-27+\sqrt{102},\,-27-\sqrt{102}\}.$$

2) Если $$a=53,$$ то $$b=573-53=520.$$ Получаем

$$ \begin{cases} x+y=53,\\ xy=520 \end{cases} $$

Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-53t+520=0.$$

$$D=53^2-4\cdot 520=2809-2080=729=27^2,$$

$$ t=\frac{53\pm 27}{2}. $$

Следовательно, $$t_1=13,$$ $$t_2=40,$$ значит $$\{x,y\}=\{13,40\}.$$

Ответ

а) $$ (36;64),\ (64;36). $$

б) $$ (40;13),\ (13;40),\ (-27+\sqrt{102};\ -27-\sqrt{102}),\ (-27-\sqrt{102};\ -27+\sqrt{102}). $$