Упр.611 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
а) система
xy-y=42,
x-y=2;
б) система
xy+y=2,
x-y=2;
в) система
x+y=10,
(x/y + 10)(y/x+10)=122*2/3;
г) система
x+y=10,
x/y(x-y)=24.
а) Из второго уравнения $$x-y=2$$ получаем $$x=y+2$$. Подставим в первое:
$$y(y+2)-y=42$$
$$y^2+y-42=0$$
$$D=1+168=169,\quad \sqrt{D}=13$$
$$y_1=\frac{-1-13}{2}=-7,\qquad y_2=\frac{-1+13}{2}=6$$
Тогда
$$x_1=y_1+2=-5,\qquad x_2=y_2+2=8$$
Получаем пары решений: $$(-5;\,-7)$$ и $$(8;\,6)$$.
б) Из второго уравнения $$x-y=2$$ имеем $$x=y+2$$. Подставим в первое:
$$y(y+2)+y=2$$
$$y^2+3y-2=0$$
$$D=9+8=17$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}$$
Тогда
$$x_{1,2}=y_{1,2}+2=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$$
Ответ:
$$\left(\frac{1-\sqrt{17}}{2};\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right),\ \left(\frac{1+\sqrt{17}}{2};\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right)$$
в) Из первого уравнения $$x+y=10$$, значит $$x=10-y$$. Подставим во второе:
$$\left(\frac{x}{y}+10\right)\left(\frac{y}{x}+10\right)=122\frac{2}{3}=\frac{368}{3}$$
Умножим на $$3xy$$:
$$3(x+10y)(y+10x)=368xy$$
Подставим $$x=10-y$$:
$$3(10-y+10y)(y+10(10-y))=368y(10-y)$$
$$3(10+9y)(100-9y)=368y(10-y)$$
$$3000+2430y-243y^2=3680y-368y^2$$
$$125y^2-1250y+3000=0$$
$$y^2-10y+24=0$$
$$D=100-96=4$$
$$y_1=4,\qquad y_2=6$$
Тогда
$$x_1=10-4=6,\qquad x_2=10-6=4$$
Ответ: $$(6;\,4)$$, $$(4;\,6)$$.
г) Из первого уравнения $$x+y=10$$, значит $$x=10-y$$. Подставим во второе:
$$\frac{x}{y}(x-y)=24$$
$$\frac{10-y}{y}(10-2y)=24$$
$$ (10-y)(10-2y)=24y $$
$$100-30y+2y^2=24y$$
$$2y^2-54y+100=0$$
$$y^2-27y+50=0$$
$$D=729-200=529,\quad \sqrt{D}=23$$
$$y_1=\frac{27-23}{2}=2,\qquad y_2=\frac{27+23}{2}=25$$
Тогда
$$x_1=10-2=8,\qquad x_2=10-25=-15$$
Ответ: $$(8;\,2)$$, $$(-15;\,25)$$.
Ответ
а) $$(-5;\,-7),\ (8;\,6)$$; б) $$\left(\frac{1-\sqrt{17}}{2};\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right),\ \left(\frac{1+\sqrt{17}}{2};\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right)$$; в) $$(6;\,4),\ (4;\,6)$$; г) $$(8;\,2),\ (-15;\,25)$$.
