Упр.610 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
Из «Алгебры» аль-Караджи (XI в.).
- а) система
$$\begin{cases}x=\frac{3}{4}y,\\xy+x+y=62;\end{cases}$$
б) система
$$\begin{cases}x+y=10,\\xy=4x+5.\end{cases}$$
а) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=\frac{3}{4}y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{3}{4}y\cdot y+\frac{3}{4}y+y=62.$$
Умножим на $$4$$:
$$3y^2+3y+4y=248,$$
$$3y^2+7y-248=0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=7^2-4\cdot 3\cdot(-248)=49+2976=3025,$$
$$\sqrt{D}=55.$$
Тогда
$$y_1=\frac{-7-55}{2\cdot 3}=\frac{-62}{6}=-\frac{31}{3}, \qquad y_2=\frac{-7+55}{6}=\frac{48}{6}=8.$$
Найдём соответствующие значения $$x$$:
$$x_1=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{31}{3}\right)=-\frac{31}{4}, \qquad x_2=\frac{3}{4}\cdot 8=6.$$
Получаем пары решений: $$\left(-\frac{31}{4};-\frac{31}{3}\right)$$ и $$\left(6;8\right).$$
б) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=10-y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$y(10-y)=4(10-y)+5.$$
Раскроем скобки и приведём подобные:
$$10y-y^2=40-4y+5,$$
$$y^2-14y+45=0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=14^2-4\cdot 45=196-180=16,$$
$$\sqrt{D}=4.$$
Тогда
$$y_1=\frac{14-4}{2}=5, \qquad y_2=\frac{14+4}{2}=9.$$
Найдём соответствующие значения $$x$$:
$$x_1=10-5=5, \qquad x_2=10-9=1.$$
Получаем пары решений: $$\left(5;5\right)$$ и $$\left(1;9\right).$$
Ответ
а) $$\left(6;8\right), \left(-\frac{31}{4};-\frac{31}{3}\right)$$; б) $$\left(5;5\right), \left(1;9\right).$$
