Упр.609 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
а) система
x+y=10,
xy=21;
б) система
x+y=10,
x2+y2=40;
в) система
x+y=10,
x2-y2=x-y+54;
г) система
x+y=10,
x2=4xy;
д) система
x+y=10,
(x+y)2=2*7/9*x2;
е) система
x+y=10,
x/y+y/x=2*1/6;
ж) система
x+y=10,
y2=81x;
з) система
x+y=10,
xy:|y-x| = 5*1/4.
а) $$\begin{cases}x+y=10,\\xy=21.\end{cases}$$
Пусть $$x=10-y$$. Тогда
$$y(10-y)=21,$$
$$y^2-10y+21=0.$$
$$D=100-84=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 4}{2}.$$
$$y_1=3,\quad y_2=7.$$
Тогда $$x=7$$ или $$x=3$$.
Ответ: $$(7;3),\ (3;7).$$
б) $$\begin{cases}x+y=10,\\x^2+y^2=40.\end{cases}$$
Пусть $$x=10-y$$. Тогда
$$ (10-y)^2+y^2=40,$$
$$2y^2-20y+60=0,$$
$$y^2-10y+30=0.$$
$$D=100-120=-20<0.$$
Корней нет.
в) $$\begin{cases}x+y=10,\\x^2-y^2=x-y+54.\end{cases}$$
Пусть $$x=10-y$$. Тогда
$$ (10-y)^2-y^2=(10-y)-y+54,$$
$$100-20y=64-2y,$$
$$-18y=-36,$$
$$y=2,\quad x=8.$$
Ответ: $$(8;2).$$
г) $$\begin{cases}x+y=10,\\x^2=4xy.\end{cases}$$
Пусть $$x=10-y$$. Тогда
$$ (10-y)^2=4y(10-y),$$
$$100-20y+y^2=40y-4y^2,$$
$$5y^2-60y+100=0,$$
$$y^2-12y+20=0.$$
$$D=144-80=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{12\pm 8}{2}.$$
$$y_1=2,\ y_2=10.$$
Тогда $$x=8$$ или $$x=0$$.
Ответ: $$(8;2),\ (0;10).$$
д) $$\begin{cases}x+y=10,\\(x+y)^2=2\frac79\,x^2.\end{cases}$$
Так как $$2\frac79=\frac{25}{9},$$ получаем
$$10^2=\frac{25}{9}(10-y)^2,$$
$$36=100-20y+y^2,$$
$$y^2-20y+64=0.$$
$$D=400-256=144,$$
$$y_{1,2}=\frac{20\pm 12}{2}.$$
$$y_1=4,\ y_2=16.$$
Тогда $$x=6$$ или $$x=-6$$.
Ответ: $$(6;4),\ (-6;16).$$
е) $$\begin{cases}x+y=10,\\\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=2\frac16.\end{cases}$$
Так как $$2\frac16=\frac{13}{6},$$ то
$$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{13}{6}.$$
Умножим на $$6xy$$:
$$6(x^2+y^2)=13xy.$$
Подставим $$x=10-y$$:
$$6\bigl((10-y)^2+y^2\bigr)=13y(10-y),$$
$$25y^2-250y+600=0,$$
$$y^2-10y+24=0.$$
$$D=100-96=4,$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 2}{2}.$$
$$y_1=4,\ y_2=6.$$
Тогда $$x=6$$ или $$x=4$$.
Ответ: $$(6;4),\ (4;6).$$
ж) $$\begin{cases}x+y=10,\\y^2=81x.\end{cases}$$
Пусть $$x=10-y$$. Тогда
$$y^2=81(10-y),$$
$$y^2+81y-810=0.$$
$$D=6561+3240=9801,$$
$$y_{1,2}=\frac{-81\pm 99}{2}.$$
$$y_1=-90,\ y_2=9.$$
Тогда $$x=100$$ или $$x=1$$.
Ответ: $$(100;-90),\ (1;9).$$
з) $$\begin{cases}x+y=10,\\\dfrac{xy}{|y-x|}=5\frac14.\end{cases}$$
Так как $$5\frac14=\frac{21}{4},$$ то
$$4xy=21|y-x|.$$
Пусть $$x=10-y.$$ Тогда
$$4y(10-y)=21|2y-10|.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$2y-10\ge 0,$$ то есть $$y\ge 5.$$
Тогда
$$40y-4y^2=21(2y-10),$$
$$2y^2+y-105=0.$$
$$D=841,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 29}{4}.$$
$$y_1=-7{,}5 \text{ не подходит},\quad y_2=7.$$
Тогда $$x=3.$$
2) $$2y-10<0,$$ то есть $$y<5.$$
Тогда
$$40y-4y^2=21(10-2y),$$
$$2y^2-41y+105=0.$$
$$D=841,$$
$$y_{1,2}=\frac{41\pm 29}{4}.$$
$$y_1=3,\quad y_2=17{,}5 \text{ не подходит}.$$
Тогда $$x=7.$$
Ответ: $$(3;7),\ (7;3).$$
Ответ
а) $$(7;3),\ (3;7);$$ б) корней нет; в) $$(8;2);$$ г) $$(8;2),\ (0;10);$$ д) $$(6;4),\ (-6;16);$$ е) $$(6;4),\ (4;6);$$ ж) $$(100;-90),\ (1;9);$$ з) $$(3;7),\ (7;3).$$
