Упр.608 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

608. Из «Арифметики» Диофанта.
а) система
x+y=20,
x2+y2=208;
б) система
x+y=20,
x2-y2=80;
в) система
x=3y,
x2+y2=5(x+y);
г) система
x=3y,
x2+y2=10(x-y);
д) система
x=3y,
x2-y2=12(x-y);
е) система
x=3y,
y2=6x;
ж) система
x=3y,
y2=6(x-y);
з) система
x-y=2,
x2-y2=x-y+20.

1. а) $$x+y=20,\quad x^2+y^2=208.$$

   Обозначим $$d=\frac{x-y}{2}.$$ Тогда $$x=10+d,\quad y=10-d.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ (10+d)^2+(10-d)^2=208 $$
   $$ 100+20d+d^2+100-20d+d^2=208 $$
   $$ 2d^2+200=208 $$
   $$ 2d^2=8,\quad d^2=4,\quad d=\pm 2. $$

   Если $$d=2,$$ то $$x=12,\ y=8.$$ Если $$d=-2,$$ то $$x=8,\ y=12.$$

   Ответ: $$ (8;12),\ (12;8). $$

2. б) $$x+y=20,\quad x^2-y^2=80.$$

   Из первого уравнения $$x=20-y.$$ Подставим во второе:

   $$ (20-y)^2-y^2=80 $$
   $$ 400-40y+y^2-y^2=80 $$
   $$ 40y=320,\quad y=8. $$

   Тогда $$x=20-8=12.$$

   Ответ: $$ (12;8). $$

3. в) $$x=3y,\quad x^2+y^2=5(x+y).$$

   Подставим $$x=3y$$ во второе уравнение:

   $$ (3y)^2+y^2=5(3y+y) $$
   $$ 9y^2+y^2=20y $$
   $$ 10y^2-20y=0 $$
   $$ 10y(y-2)=0. $$

   Отсюда $$y=0$$ или $$y=2.$$ Тогда $$x=0$$ или $$x=6.$$

   Ответ: $$ (0;0),\ (6;2). $$

4. г) $$x=3y,\quad x^2+y^2=10(x-y).$$

   Подставим $$x=3y$$:

   $$ (3y)^2+y^2=10(3y-y) $$
   $$ 9y^2+y^2=20y $$
   $$ 10y^2-20y=0 $$
   $$ 10y(y-2)=0. $$

   Отсюда $$y=0$$ или $$y=2.$$ Тогда $$x=0$$ или $$x=6.$$

   Ответ: $$ (0;0),\ (6;2). $$

5. д) $$x=3y,\quad x^2-y^2=12(x-y).$$

   Подставим $$x=3y$$:

   $$ (3y)^2-y^2=12(3y-y) $$
   $$ 9y^2-y^2=24y $$
   $$ 8y^2-24y=0 $$
   $$ 8y(y-3)=0. $$

   Отсюда $$y=0$$ или $$y=3.$$ Тогда $$x=0$$ или $$x=9.$$

   Ответ: $$ (0;0),\ (9;3). $$

6. е) $$x=3y,\quad y^2=6x.$$

   Подставим $$x=3y$$:

   $$ y^2=6\cdot 3y $$
   $$ y^2-18y=0 $$
   $$ y(y-18)=0. $$

   Отсюда $$y=0$$ или $$y=18.$$ Тогда $$x=0$$ или $$x=54.$$

   Ответ: $$ (0;0),\ (54;18). $$

7. ж) $$x=3y,\quad y^2=6(x-y).$$

   Подставим $$x=3y$$:

   $$ y^2=6(3y-y) $$
   $$ y^2=12y $$
   $$ y^2-12y=0 $$
   $$ y(y-12)=0. $$

   Отсюда $$y=0$$ или $$y=12.$$ Тогда $$x=0$$ или $$x=36.$$

   Ответ: $$ (0;0),\ (36;12). $$

8. з) $$x-y=2,\quad x^2-y^2=x-y+20.$$

   Из первого уравнения $$x=y+2.$$ Подставим во второе:

   $$ (y+2)^2-y^2=(y+2)-y+20 $$
   $$ y^2+4y+4-y^2=2+20 $$
   $$ 4y+4=22 $$
   $$ 4y=18,\quad y=4{,}5. $$

   Тогда $$x=4{,}5+2=6{,}5.$$

   Ответ: $$ (6{,}5;4{,}5). $$