Упр.608 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) $$x+y=20,\quad x^2+y^2=208.$$

Обозначим $$d=\frac{x-y}{2}.$$ Тогда $$x=10+d,\quad y=10-d.$$

Подставим во второе уравнение:

$$(10+d)^2+(10-d)^2=208$$
$$100+20d+d^2+100-20d+d^2=208$$
$$2d^2+200=208$$
$$2d^2=8,\quad d^2=4,\quad d=\pm 2.$$

Если $$d=2,$$ то $$x=12,\ y=8.$$ Если $$d=-2,$$ то $$x=8,\ y=12.$$

Ответ: $$(8;12),\ (12;8).$$

б) $$x+y=20,\quad x^2-y^2=80.$$

Из первого уравнения $$x=20-y.$$ Подставим во второе:

$$(20-y)^2-y^2=80$$
$$400-40y+y^2-y^2=80$$
$$40y=320,\quad y=8.$$

Тогда $$x=20-8=12.$$

Ответ: $$(12;8).$$

в) $$x=3y,\quad x^2+y^2=5(x+y).$$

Подставим $$x=3y$$ во второе уравнение:

$$(3y)^2+y^2=5(3y+y)$$
$$9y^2+y^2=20y$$
$$10y^2-20y=0$$
$$10y(y-2)=0.$$

Отсюда $$y=0$$ или $$y=2.$$ Тогда $$x=0$$ или $$x=6.$$

Ответ: $$(0;0),\ (6;2).$$

г) $$x=3y,\quad x^2+y^2=10(x-y).$$

Подставим $$x=3y$$:

$$(3y)^2+y^2=10(3y-y)$$
$$9y^2+y^2=20y$$
$$10y^2-20y=0$$
$$10y(y-2)=0.$$

Отсюда $$y=0$$ или $$y=2.$$ Тогда $$x=0$$ или $$x=6.$$

Ответ: $$(0;0),\ (6;2).$$

д) $$x=3y,\quad x^2-y^2=12(x-y).$$

Подставим $$x=3y$$:

$$(3y)^2-y^2=12(3y-y)$$
$$9y^2-y^2=24y$$
$$8y^2-24y=0$$
$$8y(y-3)=0.$$

Отсюда $$y=0$$ или $$y=3.$$ Тогда $$x=0$$ или $$x=9.$$

Ответ: $$(0;0),\ (9;3).$$

е) $$x=3y,\quad y^2=6x.$$

Подставим $$x=3y$$:

$$y^2=6\cdot 3y$$
$$y^2-18y=0$$
$$y(y-18)=0.$$

Отсюда $$y=0$$ или $$y=18.$$ Тогда $$x=0$$ или $$x=54.$$

Ответ: $$(0;0),\ (54;18).$$

ж) $$x=3y,\quad y^2=6(x-y).$$

Подставим $$x=3y$$:

$$y^2=6(3y-y)$$
$$y^2=12y$$
$$y^2-12y=0$$
$$y(y-12)=0.$$

Отсюда $$y=0$$ или $$y=12.$$ Тогда $$x=0$$ или $$x=36.$$

Ответ: $$(0;0),\ (36;12).$$

з) $$x-y=2,\quad x^2-y^2=x-y+20.$$

Из первого уравнения $$x=y+2.$$ Подставим во второе:

$$(y+2)^2-y^2=(y+2)-y+20$$
$$y^2+4y+4-y^2=2+20$$
$$4y+4=22$$
$$4y=18,\quad y=4{,}5.$$

Тогда $$x=4{,}5+2=6{,}5.$$

Ответ: $$(6{,}5;4{,}5).$$