Упр.605 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 605 Купил Роман раков: вчера мелких — по цене 51 к. за штуку, а сегодня — по 99 к., но очень крупных. Всего на раков он истратил 25 р. 20 к., из них переплаты из-за отсутствия сдачи в сумме составили от 16 до 20 к. Определите, сколько раков купил Роман вчера и сколько сегодня.

Подробный ответ

Пусть Роман купил вчера $$x$$ раков, а сегодня $$y$$ раков. Переплата из-за отсутствия сдачи составила $$n$$ копеек. Тогда

$$51x+99y+n=2520,$$

где $$16<n<20$$.

Так как $$51x$$, $$99y$$ и $$2520$$ делятся на $$3$$, то и $$n$$ должно делиться на $$3$$. Из чисел от $$16$$ до $$20$$ на $$3$$ делится только $$18$$, значит, $$n=18$$.

Тогда

$$51x+99y+18=2520,$$

откуда

$$51x+99y=2502.$$

Выразим $$x$$:

$$51x=2502-99y,$$

$$x=\frac{2502-99y}{51}.$$

Чтобы $$x$$ было целым числом, число $$2502-99y$$ должно делиться на $$51$$. Так как $$99\equiv 48 \pmod{51}$$, получаем, что $$y$$ должно быть таким, чтобы выражение было кратно $$51$$. Проверим подходящее значение:

при $$y=16$$

$$x=\frac{2502-99\cdot 16}{51}=\frac{2502-1584}{51}=\frac{918}{51}=18.$$

При других значениях $$y$$ целое неотрицательное $$x$$ не получается.