Упр.601 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) х2 + 2ху + 10у2 = 25;
в) х2 — 2ху + 2у2 = 16;
г) х2 — 2ху + 5y2 = 16;
д) 9х2 + 4х — ху + 3у = 88;
е) 5х2 + 6х — ху + 2у = 35

1. а) $$x^2+2xy+5y^2=25$$

   Представим левую часть в виде суммы квадратов:

   $$x^2+2xy+y^2+4y^2=25$$

   $$\left(x+y\right)^2+4y^2=25$$

   Тогда возможны случаи:

   $$y=0,\quad x+y=\pm 5$$

   или

   $$x+y=0,\quad 4y^2=25$$

   Но при целых решениях получаем:

   $$\left(5;0\right),\ \left(-5;0\right),\ \left(1;2\right),\ \left(-1;-2\right),\ \left(5;-2\right),\ \left(-5;2\right).$$

2. б) $$x^2+2xy+10y^2=25$$

   $$x^2+2xy+y^2+9y^2=25$$

   $$\left(x+y\right)^2+9y^2=25$$

   Отсюда получаем решения:

   $$\left(5;0\right),\ \left(-5;0\right),\ \left(3;1\right),\ \left(-3;-1\right),\ \left(-5;1\right),\ \left(5;-1\right).$$

3. в) $$x^2-2xy+2y^2=16$$

   $$x^2-2xy+y^2+y^2=16$$

   $$\left(x-y\right)^2+y^2=16$$

   Следовательно,

   $$\left(4;0\right),\ \left(-4;0\right),\ \left(-4;-4\right),\ \left(4;4\right).$$

4. г) $$x^2-2xy+5y^2=16$$

   $$x^2-2xy+y^2+4y^2=16$$

   $$\left(x-y\right)^2+4y^2=16$$

   Получаем:

   $$\left(4;0\right),\ \left(-4;0\right),\ \left(-2;-2\right),\ \left(2;2\right).$$

5. д) $$9x^2+4x-xy+3y=88$$

   Перенесём слагаемые с $y$ в правую часть:

   $$9x^2+4x-88=y\left(x-3\right)$$

   Тогда

   $$y=\frac{9x^2+4x-88}{x-3}$$

   Разложим числитель:

   $$9x^2+4x-88=\left(x-3\right)\left(9x+31\right)+5$$

   Значит,

   $$y=9x+31+\frac{5}{x-3}$$

   Чтобы $y$ было целым, нужно, чтобы $x-3$ делило число $5$:

   $$x-3=\pm 1,\ \pm 5$$

   Отсюда:

   $$x=8,\ -2,\ 4,\ 2$$

   Находим $y$:

   $$x=8 \Rightarrow y=104$$

   $$x=-2 \Rightarrow y=12$$

   $$x=2 \Rightarrow y=44$$

   $$x=4 \Rightarrow y=72$$

   Ответы: $$\left(8;104\right),\ \left(-2;12\right),\ \left(2;44\right),\ \left(4;72\right).$$

6. е) $$5x^2+6x-xy+2y=35$$

   Перенесём слагаемые с $y$ в правую часть:

   $$5x^2+6x-35=y\left(x-2\right)$$

   Тогда

   $$y=\frac{5x^2+6x-35}{x-2}$$

   Разложим числитель:

   $$5x^2+6x-35=\left(x-2\right)\left(5x+16\right)-3$$

   Следовательно,

   $$y=5x+16-\frac{3}{x-2}$$

   Чтобы $y$ было целым, нужно, чтобы $x-2$ делило число $3$:

   $$x-2=\pm 1,\ \pm 3$$

   Отсюда:

   $$x=-1,\ 5,\ 1,\ 3$$

   Находим $y$:

   $$x=-1 \Rightarrow y=12$$

   $$x=5 \Rightarrow y=40$$

   $$x=1 \Rightarrow y=24$$

   $$x=3 \Rightarrow y=28$$

   Ответы: $$\left(-1;12\right),\ \left(5;40\right),\ \left(1;24\right),\ \left(3;28\right).$$

Ответ

а) $$\left(5;0\right),\ \left(-5;0\right),\ \left(1;2\right),\ \left(-1;-2\right),\ \left(5;-2\right),\ \left(-5;2\right)$$

б) $$\left(5;0\right),\ \left(-5;0\right),\ \left(3;1\right),\ \left(-3;-1\right),\ \left(-5;1\right),\ \left(5;-1\right)$$

в) $$\left(4;0\right),\ \left(-4;0\right),\ \left(-4;-4\right),\ \left(4;4\right)$$

г) $$\left(4;0\right),\ \left(-4;0\right),\ \left(-2;-2\right),\ \left(2;2\right)$$

д) $$\left(8;104\right),\ \left(-2;12\right),\ \left(2;44\right),\ \left(4;72\right)$$

е) $$\left(-1;12\right),\ \left(5;40\right),\ \left(1;24\right),\ \left(3;28\right)$$