Упр.600 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
600. а) х(х + у) = 3;
б) х2 + 3ху = 2;
в) х2 + у2 — 4х — 6у + 12 = 0;
г) х2 — 4у2 = 5;
д) х2 — 4xy + 3у2 = -1;
е) х2 + у2 — 10х + 2у + 22 = 0;
ж) 3х2 + 5xy — 2у2 = 5;
з) 2х2 — 3ху — 2у2 = 7.
а) $$x(x+y)=3$$
Так как $$3$$ — простое число, то возможны только разложения:
$$x=3,\ x+y=1 \Rightarrow y=-2$$
$$x=1,\ x+y=3 \Rightarrow y=2$$
$$x=-1,\ x+y=-3 \Rightarrow y=-2$$
$$x=-3,\ x+y=-1 \Rightarrow y=2$$Получаем решения: $$ (3;-2),\ (1;2),\ (-1;-2),\ (-3;2). $$
б) $$x^2+3xy=2$$
Вынесем $$x$$ за скобки:
$$x(x+3y)=2$$
Рассмотрим делители числа $$2$$:
$$x=1,\ x+3y=2 \Rightarrow y=\frac13$$
$$x=2,\ x+3y=1 \Rightarrow y=-\frac13$$
$$x=-2,\ x+3y=-1 \Rightarrow y=\frac13$$
$$x=-1,\ x+3y=-2 \Rightarrow y=-\frac13$$Целых решений нет, так как $$y$$ не является целым числом.
Но в исходном задании требуются целые числа, поэтому целых решений у этого уравнения нет.
в) $$x^2+y^2-4x-6y+12=0$$
Дополняем до квадратов:
$$x^2-4x+4+y^2-6y+9-1=0$$
$$(x-2)^2+(y-3)^2=1$$Так как сумма квадратов равна $$1$$, то возможны только такие целые пары:
$$ (3;3),\ (2;4),\ (2;2),\ (1;3). $$
г) $$x^2-4y^2=5$$
Разложим на множители:
$$ (x-2y)(x+2y)=5 $$
Так как $$5$$ — простое число, получаем пары множителей:
$$x-2y=5,\ x+2y=1$$
$$x-2y=1,\ x+2y=5$$
$$x-2y=-1,\ x+2y=-5$$
$$x-2y=-5,\ x+2y=-1$$Отсюда:
$$ (3;-1),\ (3;1),\ (-3;-1),\ (-3;1). $$
д) $$x^2-4xy+3y^2=-1$$
Преобразуем левую часть:
$$x^2-4xy+4y^2-y^2=-1$$
$$(x-2y)^2-y^2=-1$$
$$(x-3y)(x-y)=-1$$Так как произведение равно $$-1$$, возможны только два случая:
$$x-3y=1,\ x-y=-1$$
$$x-3y=-1,\ x-y=1$$Решая системы, получаем:
$$ (-2;-1),\ (2;1). $$
е) $$x^2+y^2-10x+2y+22=0$$
Дополняем до квадратов:
$$x^2-10x+25+y^2+2y+1-4=0$$
$$(x-5)^2+(y+1)^2=4$$Целые решения получаем, когда одна из скобок равна $$\pm 2$$, а другая равна $$0$$:
$$ (5;1),\ (7;-1),\ (3;-1),\ (5;-3). $$
ж) $$3x^2+5xy-2y^2=5$$
Разложим на множители:
$$3x^2+6xy-xy-2y^2=5$$
$$3x(x+2y)-y(x+2y)=5$$
$$(x+2y)(3x-y)=5$$Так как $$5$$ — простое число, имеем:
$$x+2y=5,\ 3x-y=1$$
$$x+2y=1,\ 3x-y=5$$
$$x+2y=-5,\ 3x-y=-1$$
$$x+2y=-1,\ 3x-y=-5$$Из целых решений получаем:
$$ (1;2),\ (-1;-2). $$
з) $$2x^2-3xy-2y^2=7$$
Преобразуем:
$$2x^2-4xy+xy-2y^2=7$$
$$2x(x-2y)+y(x-2y)=7$$
$$(x-2y)(2x+y)=7$$Так как $$7$$ — простое число, рассматриваем разложения:
$$x-2y=7,\ 2x+y=1$$
$$x-2y=1,\ 2x+y=7$$
$$x-2y=-7,\ 2x+y=-1$$
$$x-2y=-1,\ 2x+y=-7$$Из них получаем целые решения:
$$ (3;1),\ (-3;-1). $$
Ответ
а) $$ (3;-2),\ (1;2),\ (-1;-2),\ (-3;2) $$;
б) целых решений нет;
в) $$ (3;3),\ (2;4),\ (2;2),\ (1;3) $$;
г) $$ (3;-1),\ (3;1),\ (-3;-1),\ (-3;1) $$;
д) $$ (-2;-1),\ (2;1) $$;
е) $$ (5;1),\ (7;-1),\ (3;-1),\ (5;-3) $$;
ж) $$ (1;2),\ (-1;-2) $$;
з) $$ (3;1),\ (-3;-1) $$.
