Упр.599 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Докажите, что уравнение х2 — 6х + у2 + 4у + 14 = 0 не имеет решений.

а) Преобразуем уравнение к виду суммы квадратов:

$$x^2-6x+y^2+4y+13=0$$

$$x^2-6x+9+y^2+4y+4=0$$

$$\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=0$$

Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$x-3=0,\quad y+2=0$$

$$x=3,\quad y=-2$$

Значит, уравнение имеет единственное целочисленное решение.

б) Аналогично преобразуем уравнение:

$$x^2-6x+y^2+4y+14=0$$

$$x^2-6x+9+y^2+4y+4=-1$$

$$\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=-1$$

Левая часть — сумма квадратов, а она не может быть отрицательной. Следовательно, решений нет.

Ответ

а) $$\left(3;\,-2\right)$$ — единственное решение.

б) Решений нет.