Упр.598 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
- Решите уравнение в целых числах: а) $$xy+5x-3y=18$$; б) $$xy-6x-y+1=0$$; в) $$xy-2x-2y+3=0$$; г) $$xy-3y+2x-7=0$$.
а) $$xy+5x-3y=18$$
Прибавим и вычтем $$15$$:
$$xy+5x-3y-15=3$$
$$x(y+5)-3(y+5)=3$$
$$(y+5)(x-3)=3$$
Так как $$3$$ — простое число, то возможны пары множителей:
$$y+5=1,\ x-3=3 \Rightarrow x=6,\ y=-4$$
$$y+5=3,\ x-3=1 \Rightarrow x=4,\ y=-2$$
$$y+5=-1,\ x-3=-3 \Rightarrow x=0,\ y=-6$$
$$y+5=-3,\ x-3=-1 \Rightarrow x=2,\ y=-8$$
Ответ: $$(4;\,-2),\ (6;\,-4),\ (0;\,-6),\ (2;\,-8).$$
б) $$xy-6x-y+1=0$$
Прибавим и вычтем $$6$$:
$$xy-6x-y+6-6+1=0$$
$$x(y-6)-(y-6)=5$$
$$(y-6)(x-1)=5$$
Возможны пары множителей числа $$5$$:
$$y-6=1,\ x-1=5 \Rightarrow x=6,\ y=7$$
$$y-6=5,\ x-1=1 \Rightarrow x=2,\ y=11$$
$$y-6=-1,\ x-1=-5 \Rightarrow x=-4,\ y=5$$
$$y-6=-5,\ x-1=-1 \Rightarrow x=0,\ y=1$$
Ответ: $$(2;\,11),\ (6;\,7),\ (-4;\,5),\ (0;\,1).$$
в) $$xy-2x-2y+3=0$$
Прибавим и вычтем $$4$$:
$$xy-2x-2y+4-4+3=0$$
$$x(y-2)-2(y-2)=1$$
$$(y-2)(x-2)=1$$
Так как $$1$$ можно представить только как $$1\cdot 1$$ или $$(-1)\cdot(-1)$$, получаем:
$$y-2=1,\ x-2=1 \Rightarrow x=3,\ y=3$$
$$y-2=-1,\ x-2=-1 \Rightarrow x=1,\ y=1$$
Ответ: $$(3;\,3),\ (1;\,1).$$
г) $$xy-3y+2x-7=0$$
Прибавим и вычтем $$6$$:
$$xy-3y+2x-6-1=0$$
$$y(x-3)+2(x-3)=1$$
$$(x-3)(y+2)=1$$
Отсюда:
$$x-3=1,\ y+2=1 \Rightarrow x=4,\ y=-1$$
$$x-3=-1,\ y+2=-1 \Rightarrow x=2,\ y=-3$$
Ответ: $$(4;\,-1),\ (2;\,-3).$$
Ответ
а) $$(4;\,-2),\ (6;\,-4),\ (0;\,-6),\ (2;\,-8)$$; б) $$(2;\,11),\ (6;\,7),\ (-4;\,5),\ (0;\,1)$$; в) $$(3;\,3),\ (1;\,1)$$; г) $$(4;\,-1),\ (2;\,-3)$$.
