Упр.597 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) в целых числах;
б) в натуральных числах.

Преобразуем уравнение:

$$x^2-y^2=5$$

$$ (x-y)(x+y)=5 $$

Так как число $$5$$ — простое, то возможны только такие пары целых множителей:

$$ \begin{cases} x-y=1 \\ x+y=5 \end{cases} \qquad \begin{cases} x-y=5 \\ x+y=1 \end{cases} \qquad \begin{cases} x-y=-1 \\ x+y=-5 \end{cases} \qquad \begin{cases} x-y=-5 \\ x+y=-1 \end{cases} $$

Решим каждую систему:

$$ \begin{cases} x-y=1 \\ x+y=5 \end{cases} \Rightarrow 2x=6,\ x=3,\ y=2 $$

$$ \begin{cases} x-y=5 \\ x+y=1 \end{cases} \Rightarrow 2x=6,\ x=3,\ y=-2 $$

$$ \begin{cases} x-y=-1 \\ x+y=-5 \end{cases} \Rightarrow 2x=-6,\ x=-3,\ y=-2 $$

$$ \begin{cases} x-y=-5 \\ x+y=-1 \end{cases} \Rightarrow 2x=-6,\ x=-3,\ y=2 $$

а) В целых числах получаем решения:

$$ (3;2),\ (3;-2),\ (-3;-2),\ (-3;2). $$

б) В натуральных числах подходит только пара, где оба числа натуральные:

$$ (3;2). $$

Ответ

а) $$ (3;2),\ (3;-2),\ (-3;-2),\ (-3;2) $$

б) $$ (3;2) $$