Упр.597 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$x^2-y^2=5$$: а) в целых числах; б) в натуральных числах.

Преобразуем уравнение:

$$x^2-y^2=5$$

$$(x-y)(x+y)=5$$

Так как число $$5$$ — простое, то возможны только такие пары целых множителей:

$$\begin{cases} x-y=1 \\ x+y=5 \end{cases} \qquad \begin{cases} x-y=5 \\ x+y=1 \end{cases} \qquad \begin{cases} x-y=-1 \\ x+y=-5 \end{cases} \qquad \begin{cases} x-y=-5 \\ x+y=-1 \end{cases}$$

Решим каждую систему:

$$\begin{cases} x-y=1 \\ x+y=5 \end{cases} \Rightarrow 2x=6,\ x=3,\ y=2$$

$$\begin{cases} x-y=5 \\ x+y=1 \end{cases} \Rightarrow 2x=6,\ x=3,\ y=-2$$

$$\begin{cases} x-y=-1 \\ x+y=-5 \end{cases} \Rightarrow 2x=-6,\ x=-3,\ y=-2$$

$$\begin{cases} x-y=-5 \\ x+y=-1 \end{cases} \Rightarrow 2x=-6,\ x=-3,\ y=2$$

а) В целых числах получаем решения:

$$(3;2),\ (3;-2),\ (-3;-2),\ (-3;2).$$

б) В натуральных числах подходит только пара, где оба числа натуральные:

$$(3;2).$$

Ответ

а) $$(3;2),\ (3;-2),\ (-3;-2),\ (-3;2)$$

б) $$(3;2)$$