Упр.595 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение в целых числах: а) $$3x+5y=20$$; б) $$2x-5y=25$$; в) $$2x-3y=5$$; г) $$7x+5y=2$$; д) $$2x+7y=28$$; е) $$3x+5y=30$$.

1. а) $$3x+5y=20$$

   Пусть $$x=5a$$, где $$a \in \mathbb{Z}$$. Тогда

   $$3\cdot 5a+5y=20$$

   $$15a+5y=20$$

   $$5y=20-15a$$

   $$y=4-3a$$

   Ответ: $$(5a;\,4-3a),\ a \in \mathbb{Z}.$$

2. б) $$2x-5y=25$$

   Пусть $$x=5a$$, где $$a \in \mathbb{Z}$$. Тогда

   $$2\cdot 5a-5y=25$$

   $$10a-5y=25$$

   $$5y=10a-25$$

   $$y=2a-5$$

   Ответ: $$(5a;\,2a-5),\ a \in \mathbb{Z}.$$

3. в) $$2x-3y=5$$

   Подходит, например, частное решение $$x_0=4,\ y_0=1$$, так как $$2\cdot 4-3\cdot 1=5$$.

   Тогда общее решение:

   $$x=4-3a,\qquad y=1-2a,\qquad a \in \mathbb{Z}.$$

   Ответ: $$(4-3a;\,1-2a),\ a \in \mathbb{Z}.$$

4. г) $$7x+5y=2$$

   Подходит частное решение $$x_0=1,\ y_0=-1$$, так как $$7\cdot 1+5\cdot(-1)=2$$.

   Тогда

   $$x=1+5a,\qquad y=-1-7a,\qquad a \in \mathbb{Z}.$$

   Ответ: $$(1+5a;\,-1-7a),\ a \in \mathbb{Z}.$$

5. д) $$2x+7y=28$$

   Пусть $$x=7a$$, где $$a \in \mathbb{Z}$$. Тогда

   $$2\cdot 7a+7y=28$$

   $$14a+7y=28$$

   $$7y=28-14a$$

   $$y=4-2a$$

   Ответ: $$(7a;\,4-2a),\ a \in \mathbb{Z}.$$

6. е) $$3x+5y=30$$

   Пусть $$x=5a$$, где $$a \in \mathbb{Z}$$. Тогда

   $$3\cdot 5a+5y=30$$

   $$15a+5y=30$$

   $$5y=30-15a$$

   $$y=6-3a$$

   Ответ: $$(5a;\,6-3a),\ a \in \mathbb{Z}.$$