Упр.594 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) имеет единственный корень;
б) имеет два корня;
в) не имеет корней.

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{4-x^2}=|x-a|.$$

Так как левая часть определена только при

$$4-x^2\ge 0,$$

то обязательно $$x\in[-2;2].$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4-x^2=(x-a)^2.$$

Раскроем скобки:

$$4-x^2=x^2-2ax+a^2,$$

$$2x^2-2ax+a^2-4=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Его дискриминант:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-4)=4a^2-8a^2+32=-4a^2+32.$$

Теперь рассмотрим случаи.

1. Один корень. Это возможно при $$D=0$$:

   $$-4a^2+32=0,$$

   $$a^2=8,$$

   $$a=\pm 2\sqrt{2}.$$

2. Два корня. Это возможно при $$D>0$$:

   $$-4a^2+32>0,$$

   $$a^2<8,$$

   $$|a|<2\sqrt{2}.$$

   Значит,

   $$a\in(-2\sqrt{2};\,2\sqrt{2}).$$

3. Корней нет. Это возможно при $$D<0$$:

   $$-4a^2+32<0,$$

   $$a^2>8,$$

   $$|a|>2\sqrt{2}.$$

   Значит,

   $$a\in(-\infty;\,-2\sqrt{2})\cup(2\sqrt{2};\,+\infty).$$

Ответ

а) $$a=\pm 2\sqrt{2}$$;

б) $$a\in(-2\sqrt{2};\,2\sqrt{2})$$;

в) $$a\in(-\infty;\,-2\sqrt{2})\cup(2\sqrt{2};\,+\infty).$$