Упр.587 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Найдите все значения $$k$$, при каждом из которых:
а) прямая $$y=kx+3$$ касается окружности $$(x+2)^2+y^2=9$$;
б) прямая $$y=k(x-5)+5$$ касается окружности $$(x-1)^2+(y-2)^2=25$$.

Подробный ответ

Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда система, составленная из их уравнений, имеет единственное решение. Это означает, что после подстановки уравнения прямой в уравнение окружности квадратное уравнение по одной переменной должно иметь дискриминант, равный нулю.

$$y=kx+3,\qquad (x+2)^2+y^2=9$$
Подставим $$y=kx+3$$ в уравнение окружности:
$$(x+2)^2+(kx+3)^2=9$$
$$x^2+4x+4+k^2x^2+6kx+9=9$$
$$(1+k^2)x^2+(4+6k)x+4=0$$
Для касания дискриминант равен нулю:
$$D=(4+6k)^2-4(1+k^2)\cdot 4=0$$
$$16+48k+36k^2-16-16k^2=0$$
$$20k^2+48k=0$$
$$4k(5k+12)=0$$
Отсюда:
$$k=0 \quad \text{или} \quad k=-\frac{12}{5}$$
$$y=k(x-5)+5,\qquad (x-1)^2+(y-2)^2=25$$
Преобразуем уравнение прямой:
$$y=kx-5k+5$$
Подставим в уравнение окружности:
$$(x-1)^2+(kx-5k+3)^2=25$$
Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для касания его дискриминант должен быть равен нулю. После раскрытия скобок получаем:
$$(1+k^2)x^2-(2-10k+6k^2)x+(25k^2-30k-15)=0$$
Тогда
$$D=(2-10k+6k^2)^2-4(1+k^2)(25k^2-30k-15)=0$$
После упрощения:
$$36k^2+96k+64=0$$
$$9k^2+24k+16=0$$
$$(3k+4)^2=0$$
Следовательно,
$$k=-\frac{4}{3}$$