Упр.587 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

(х — х0)2 + (у — y0)2 = если прямая и окружность имеют единственную общую точку. То есть если система уравнений
система
(х — х0)2 + (у — у 0)2 = R2,
у = kx + b
имеет единственное решение. Найдите все значения k, при каждом из которых:
а) прямая у = kx + 3 касается окружности (х + 2)2 + у2 — 9;
б) прямая у = k(х — 5) + 5 касается окружности (х- 1)2 + (у — 2)2 = 25.

Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда система, составленная из их уравнений, имеет единственное решение. Это означает, что после подстановки уравнения прямой в уравнение окружности квадратное уравнение по одной переменной должно иметь дискриминант, равный нулю.

1. $$y=kx+3,\qquad (x+2)^2+y^2=9$$

   Подставим $$y=kx+3$$ в уравнение окружности:

   $$ (x+2)^2+(kx+3)^2=9 $$

   $$ x^2+4x+4+k^2x^2+6kx+9=9 $$

   $$ (1+k^2)x^2+(4+6k)x+4=0 $$

   Для касания дискриминант равен нулю:

   $$ D=(4+6k)^2-4(1+k^2)\cdot 4=0 $$

   $$ 16+48k+36k^2-16-16k^2=0 $$

   $$ 20k^2+48k=0 $$

   $$ 4k(5k+12)=0 $$

   Отсюда:

   $$ k=0 \quad \text{или} \quad k=-\frac{12}{5} $$

2. $$y=k(x-5)+5,\qquad (x-1)^2+(y-2)^2=25$$

   Преобразуем уравнение прямой:

   $$ y=kx-5k+5 $$

   Подставим в уравнение окружности:

   $$ (x-1)^2+(kx-5k+3)^2=25 $$

   Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для касания его дискриминант должен быть равен нулю. После раскрытия скобок получаем:

   $$ (1+k^2)x^2-(2-10k+6k^2)x+(25k^2-30k-15)=0 $$

   Тогда

   $$ D=(2-10k+6k^2)^2-4(1+k^2)(25k^2-30k-15)=0 $$

   После упрощения:

   $$ 36k^2+96k+64=0 $$

   $$ 9k^2+24k+16=0 $$

   $$ (3k+4)^2=0 $$

   Следовательно,

   $$ k=-\frac{4}{3} $$

Ответ

а) $$k=0,\; -\frac{12}{5}$$; б) $$k=-\frac{4}{3}$$.