Упр.586 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
Говорят, что прямая $$y=kx+l$$ касается параболы $$y=ax^2+bx+c$$, если прямая и парабола имеют единственную общую точку. То есть если система уравнений $$\begin{cases} y=ax^2+bx+c,\\ y=kx+l \end{cases}$$ имеет единственное решение.
- Найдите все значения $$k$$, при каждом из которых:
а) прямая $$y=kx$$ касается параболы $$y=0{,}5x^2-x+4{,}5$$;
б) прямая $$y=kx-4k-2$$ касается параболы $$y=0{,}5x^2-3x+6{,}5$$.
Прямая касается параболы тогда и только тогда, когда система уравнений имеет единственное решение, то есть квадратное уравнение, полученное после приравнивания правых частей, имеет один корень. Это означает, что дискриминант равен нулю.
а) Рассмотрим уравнение пересечения:
$$kx=0,5x^2-x+4,5$$
$$0,5x^2-(1+k)x+4,5=0$$
Для касания дискриминант равен нулю:
$$D=(1+k)^2-4\cdot 0,5\cdot 4,5=0$$
$$(1+k)^2-9=0$$
$$(1+k)^2=9$$
$$1+k=3 \text{ или } 1+k=-3$$
$$k=2 \text{ или } k=-4$$
б) Приравняем уравнения:
$$kx-4k-2=0,5x^2-3x+6,5$$
$$0,5x^2-(3+k)x+8,5+4k=0$$
Для касания дискриминант равен нулю:
$$D=(3+k)^2-4\cdot 0,5\cdot (8,5+4k)=0$$
$$(3+k)^2-(8,5+4k)\cdot 2=0$$
$$k^2+6k+9-17-8k=0$$
$$k^2-2k-8=0$$
$$(k-4)(k+2)=0$$
$$k=4 \text{ или } k=-2$$
Ответ
а) $$k=-4,\ 2$$
б) $$k=-2,\ 4$$
