Упр.585 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Сколько решений имеет система уравнений:

а) $$\begin{cases} y=x^2, \\ (x+2)^2+(y+2)^2=4; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} (x-2)^2+(y-3)^2=9, \\ y-x=4; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} xy=1, \\ y=0{,}5x+0{,}5; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} xy=1, \\ y=-2x+2; \end{cases}$$

д) $$\begin{cases} y=x^2-6x+10, \\ x^2-4x+y^2-2y=20; \end{cases}$$

е) $$\begin{cases} xy=8, \\ y+1=x^2? \end{cases}$$

1. а) Рассмотрим графики $$y=x^2$$ и $$(x+2)^2+(y+2)^2=4$$.

   Вторая кривая — окружность с центром $$(-2,-2)$$ и радиусом $$2$$. Она не пересекает параболу, значит решений нет.

   Ответ: нет решений.

2. б) Система

   $$\begin{cases} (x-2)^2+(y-3)^2=9,\\ y-x=4 \end{cases}$$

   Здесь окружность с центром $$(2,3)$$ и радиусом $$3$$, а прямая $$y=x+4$$ пересекает её в двух точках.

   Ответ: два решения.

3. в) Система

   $$\begin{cases} xy=1,\\ y=0{,}5x+0{,}5 \end{cases}$$

   Гипербола $$y=\dfrac{1}{x}$$ и прямая пересекаются в двух точках.

   Ответ: два решения.

4. г) Система

   $$\begin{cases} xy=1,\\ y=-2x+2 \end{cases}$$

   Гипербола $$y=\dfrac{1}{x}$$ и прямая $$y=-2x+2$$ не имеют общих точек.

   Ответ: нет решений.

5. д) Преобразуем уравнения:

   $$\begin{cases} y=x^2-6x+10,\\ x^2-4x+y^2-2y=20 \end{cases}$$

   $$y=(x-3)^2+1,$$

   $$x^2-4x+y^2-2y=20 \Rightarrow (x-2)^2+(y-1)^2=25.$$

   Парабола и окружность пересекаются в двух точках.

   Ответ: два решения.

6. е) Система

   $$\begin{cases} xy=8,\\ y+1=x^2 \end{cases}$$

   То есть

   $$\begin{cases} y=\dfrac{8}{x},\\ y=x^2-1 \end{cases}$$

   Графики пересекаются в одной точке.

   Ответ: одно решение.