Упр.581 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases}(3-2a)x+(1-a)y-a^2=0,\\7x+3y-4=0\end{cases}$$ имеет бесконечно много решений.

Чтобы система двух линейных уравнений имела бесконечно много решений, её уравнения должны быть пропорциональны:

$$\frac{3-2a}{7}=\frac{1-a}{3}=\frac{a^2}{4}.$$

Сначала приравняем первые две дроби:

$$\frac{3-2a}{7}=\frac{1-a}{3}$$

$$3(3-2a)=7(1-a)$$

$$9-6a=7-7a$$

$$a=-2.$$

Теперь приравняем вторую и третью дроби:

$$\frac{1-a}{3}=\frac{a^2}{4}$$

$$4(1-a)=3a^2$$

$$3a^2+4a-4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64,$$

$$a=\frac{-4\pm 8}{2\cdot 3}.$$

Тогда

$$a_1=\frac{-4-8}{6}=-2,\qquad a_2=\frac{-4+8}{6}=\frac{2}{3}.$$

Оба значения удовлетворяют условию пропорциональности коэффициентов.

Ответ

$$a=-2,\ \frac{2}{3}$$