Упр.581 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

система
(3 — 2а) х + (1 — а) у — а2 = 0,
7х + 3у — 4 = 0
имеет бесконечно много решений.

Чтобы система двух линейных уравнений имела бесконечно много решений, её уравнения должны быть пропорциональны:

$$ \frac{3-2a}{7}=\frac{1-a}{3}=\frac{a^2}{4}. $$

Сначала приравняем первые две дроби:

$$ \frac{3-2a}{7}=\frac{1-a}{3} $$

$$ 3(3-2a)=7(1-a) $$

$$ 9-6a=7-7a $$

$$ a=-2. $$

Теперь приравняем вторую и третью дроби:

$$ \frac{1-a}{3}=\frac{a^2}{4} $$

$$ 4(1-a)=3a^2 $$

$$ 3a^2+4a-4=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=4^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64, $$

$$ a=\frac{-4\pm 8}{2\cdot 3}. $$

Тогда

$$ a_1=\frac{-4-8}{6}=-2,\qquad a_2=\frac{-4+8}{6}=\frac{2}{3}. $$

Оба значения удовлетворяют условию пропорциональности коэффициентов.

Ответ

$$a=-2,\ \frac{2}{3}$$