Упр.580 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Решите графическим способом систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}2x+y=4,\\x-y+1=0,\\y=2;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}x+y-2=0,\\-2x+y=5,\\2x+3y=7;\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}x-y=4,\\2x+y=5,\\x+y=2;\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}x+y=4,\\\frac{x}{3}+\frac{y}{3}-\frac{2}{3}=0,\\2x+2y-4=0.\end{cases}$$

1. а) Преобразуем уравнения к виду функций:

   $$2x+y=4 \Rightarrow y=4-2x, \qquad x-y+1=0 \Rightarrow y=x+1, \qquad y=2.$$

   Точка пересечения первых двух прямых:

   $$4-2x=x+1 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1,\quad y=2.$$

   Проверка: $$y=2$$ выполняется. Значит, решение системы — $$(1;2)$$.

2. б) Преобразуем уравнения:

   $$x+y-2=0 \Rightarrow y=2-x, \qquad -2x+y=5 \Rightarrow y=5+2x, \qquad 2x+3y=7 \Rightarrow y=\frac{7}{3}-\frac{2}{3}x.$$

   Найдём точку пересечения первых двух прямых:

   $$2-x=5+2x \Rightarrow -3x=3 \Rightarrow x=-1,\quad y=3.$$

   Проверка в третьем уравнении:

   $$2(-1)+3\cdot 3=7.$$

   Значит, решение системы — $$(-1;3)$$.

3. в) Преобразуем уравнения:

   $$x-y=4 \Rightarrow y=x-4, \qquad 2x+y=5 \Rightarrow y=5-2x, \qquad x+y=2 \Rightarrow y=2-x.$$

   Найдём точку пересечения первых двух прямых:

   $$x-4=5-2x \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3,\quad y=-1.$$

   Проверка в третьем уравнении:

   $$3+(-1)=2.$$

   Значит, решение системы — $$(3;-1)$$.

4. г) Преобразуем уравнения:

   $$x+y=4 \Rightarrow y=4-x,$$

   $$\frac{x}{3}+\frac{y}{3}-\frac{2}{3}=0 \Rightarrow x+y-2=0 \Rightarrow y=2-x,$$

   $$2x+2y-4=0 \Rightarrow x+y-2=0 \Rightarrow y=2-x.$$

   Получили две одинаковые прямые $$y=2-x$$ и одну параллельную ей прямую $$y=4-x$$. Общих точек у них нет, значит, система не имеет решений.

Ответ

а) $$(1;2)$$; б) $$(-1;3)$$; в) $$(3;-1)$$; г) корней нет.