Упр.578 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

При каких $$a$$ и $$b$$ прямые $$x+y=-b$$ и $$x-ay=2$$: а) пересекаются в точке $$(1; 4)$$; б) параллельны; в) совпадают?

Рассмотрим систему уравнений прямых:

$$\begin{cases} x+y=-b,\\ x-ay=2. \end{cases}$$

1. Прямые пересекаются в точке $$(1;4)$$, значит эта точка удовлетворяет обоим уравнениям:

   $$1+4=-b \Rightarrow -b=5 \Rightarrow b=-5,$$

   $$1-4a=2 \Rightarrow -4a=1 \Rightarrow a=-\frac14.$$

2. Чтобы прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны, а свободные члены — различны.

   Из первого уравнения:

   $$y=-x-b.$$

   Из второго уравнения при $$a=-1$$:

   $$x+y=2 \Rightarrow y=-x+2.$$

   Тогда прямые параллельны при

   $$a=-1,\quad b\ne -2.$$

3. Чтобы прямые совпадали, они должны иметь одинаковые уравнения:

   $$y=-x-b,\qquad y=-x+2.$$

   Следовательно,

   $$a=-1,\quad b=-2.$$

Ответ

а) $$a=-\frac14,\ b=-5$$; б) $$a=-1,\ b\ne -2$$; в) $$a=-1,\ b=-2$$.