Упр.578 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) пересекаются в точке (1; 4);
б) параллельны;
в) совпадают?

Рассмотрим систему уравнений прямых:

$$ \begin{cases} x+y=-b,\\ x-ay=2. \end{cases} $$

1. Прямые пересекаются в точке $$(1;4)$$, значит эта точка удовлетворяет обоим уравнениям:

   $$ 1+4=-b \Rightarrow -b=5 \Rightarrow b=-5, $$

   $$ 1-4a=2 \Rightarrow -4a=1 \Rightarrow a=-\frac14. $$

2. Чтобы прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны, а свободные члены — различны.

   Из первого уравнения:

   $$ y=-x-b. $$

   Из второго уравнения при $$a=-1$$:

   $$ x+y=2 \Rightarrow y=-x+2. $$

   Тогда прямые параллельны при

   $$ a=-1,\quad b\ne -2. $$

3. Чтобы прямые совпадали, они должны иметь одинаковые уравнения:

   $$ y=-x-b,\qquad y=-x+2. $$

   Следовательно,

   $$ a=-1,\quad b=-2. $$

Ответ

а) $$a=-\frac14,\ b=-5$$; б) $$a=-1,\ b\ne -2$$; в) $$a=-1,\ b=-2$$.