Упр.577 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что система уравнений имеет бесконечно много решений:
   
   а) $$\begin{cases} x+y-3=0, \\ 2x+2y=6; \end{cases}$$
   
   б) $$\begin{cases} x+y-2=0, \\ 0{,}5x+0{,}5y=1; \end{cases}$$
   
   в) $$\begin{cases} 0{,}3x+0{,}2y+0{,}9=0, \\ -3x-2y=9; \end{cases}$$
   
   г) $$\begin{cases} \frac{x}{3}+\frac{y}{3}=3, \\ \frac{2x}{3}-6=-\frac{2y}{3}. \end{cases}$$

Чтобы система двух уравнений имела бесконечно много решений, одно из уравнений должно быть следствием другого, то есть коэффициенты при переменных и свободные члены должны быть пропорциональны.

1. $$\begin{cases} x+y-3=0,\\ 2x+2y=6 \end{cases}$$
   Приведём второе уравнение к виду $$2x+2y-6=0$$. Тогда
   $$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{-3}{-6}.$$
   Уравнения пропорциональны, значит, система имеет бесконечно много решений.

2. $$\begin{cases} x+y-2=0,\\ 0{,}5x+0{,}5y=1 \end{cases}$$
   Второе уравнение перепишем так:
   $$0{,}5x+0{,}5y-1=0.$$
   Тогда
   $$\frac{1}{0{,}5}=\frac{1}{0{,}5}=\frac{-2}{-1}.$$
   Уравнения пропорциональны, значит, система имеет бесконечно много решений.

3. $$\begin{cases} 0{,}3x+0{,}2y+0{,}9=0,\\ -3x-2y=9 \end{cases}$$
   Второе уравнение перепишем так:
   $$-3x-2y-9=0.$$
   Проверим пропорциональность:
   $$\frac{0{,}3}{-3}=\frac{0{,}2}{-2}=\frac{0{,}9}{-9}=-0{,}1.$$
   Уравнения пропорциональны, значит, система имеет бесконечно много решений.

4. $$\begin{cases} \frac{x}{3}+\frac{y}{3}=3,\\ \frac{2x}{3}-6=-\frac{2y}{3} \end{cases}$$
   Приведём второе уравнение к стандартному виду:
   $$\frac{2x}{3}+\frac{2y}{3}-6=0.$$
   Первое уравнение тоже запишем в виде
   $$\frac{x}{3}+\frac{y}{3}-3=0.$$
   Тогда
   $$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}.$$
   Уравнения пропорциональны, значит, система имеет бесконечно много решений.

Ответ

Во всех пунктах а), б), в), г) система имеет бесконечно много решений.