Упр.570 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
система
а1х + b1у + c1 = О,
а2х + b2у + с2 = 0:
а) имела единственное решение;
б) имела бесконечно много решений;
в) не имела решений?
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0,\\ a_2x+b_2y+c_2=0. \end{cases} $$
Для двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
- система имеет единственное решение, если прямые пересекаются, то есть их коэффициенты при $x$ и $y$ не пропорциональны;
- система имеет бесконечно много решений, если уравнения задают одну и ту же прямую;
- система не имеет решений, если прямые параллельны и различны.
Запишем это через отношения коэффициентов.
а) Единственное решение будет тогда и только тогда, когда
$$ \frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}. $$
б) Бесконечно много решений будет тогда и только тогда, когда все коэффициенты пропорциональны:
$$ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}. $$
в) Решений нет, если коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, а свободные члены — нет:
$$ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}. $$
Ответ
а) $$\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$$
б) $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$$
в) $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$$
