Упр.569 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Сколько решений имеет система уравнений
$$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0,\\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{cases}$$
где $$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$$ — числа, отличные от нуля, если:
а) $$\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}$$;
б) $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}$$;
в) $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$$?

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0,\\ a_2x+b_2y+c_2=0. \end{cases}$$

Каждое уравнение задаёт прямую на плоскости. Число решений системы равно числу точек пересечения этих прямых.

1. Если $$\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2},$$ то прямые не параллельны, значит, пересекаются в одной точке.

2. Если $$\frac{a_1}{a_2}= \frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2},$$ то прямые параллельны и не совпадают, поэтому решений нет.

3. Если $$\frac{a_1}{a_2}= \frac{b_1}{b_2}= \frac{c_1}{c_2},$$ то прямые совпадают, значит, решений бесконечно много.

Ответ

а) одно решение;
б) решений нет;
в) бесконечно много решений.