Упр.561 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Два маляра могут окрасить стены цеха за 60 ч. Найдите время, которое потребуется каждому из них для выполнения этой же работы отдельно, если известно, что одному из них потребуется на 22 ч больше, чем другому.

а) Пусть машинистка должна была печатать $$x$$ листов в день, а всего ей нужно было напечатать $$y$$ листов.

Тогда по условию:

$$ \begin{cases} \dfrac{y}{x+2}=\dfrac{y}{x}-3,\\[6pt] \dfrac{y}{x+4}=\dfrac{y}{x}-5. \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:

$$ \dfrac{y}{x+2}=\dfrac{y}{x}-3 $$
$$ xy=y(x+2)-3x(x+2) $$
$$ xy=xy+2y-3x^2-6x $$
$$ 3x^2+6x-2y=0. $$

Преобразуем второе уравнение:

$$ \dfrac{y}{x+4}=\dfrac{y}{x}-5 $$
$$ xy=y(x+4)-5x(x+4) $$
$$ xy=xy+4y-5x^2-20x $$
$$ 5x^2+20x-4y=0. $$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 3x^2+6x-2y=0,\\ 5x^2+20x-4y=0. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$ 6x^2+12x-4y=0. $$

Вычтем из него второе уравнение:

$$ (6x^2+12x-4y)-(5x^2+20x-4y)=0 $$
$$ x^2-8x=0 $$
$$ x(x-8)=0. $$

Так как $$x=0$$ не подходит, то $$x=8$$.

Найдём $$y$$:

$$ 3\cdot 8^2+6\cdot 8-2y=0 $$
$$ 192+48-2y=0 $$
$$ 2y=240 $$
$$ y=120. $$

Значит, машинистке нужно было напечатать $$120$$ листов, а по норме она печатала $$8$$ листов в день. Тогда срок работы:

$$ 120:8=15. $$

б) Пусть первый маляр может выполнить работу за $$x$$ ч, а второй — за $$y$$ ч. Тогда:

$$ \begin{cases} 60\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1,\\[6pt] x=y+22. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{60} $$
$$ 60y+60x=xy. $$

Подставим $$x=y+22$$:

$$ 60y+60(y+22)=y(y+22) $$
$$ 120y+1320=y^2+22y $$
$$ y^2-98y-1320=0. $$

Найдём корни:

$$ D=98^2+4\cdot 1320=9604+5280=14884, $$
$$ \sqrt{D}=122. $$

$$ y=\dfrac{98\pm 122}{2}. $$

Получаем:

$$ y_1=\dfrac{98-122}{2}=-12 \quad \text{(не подходит)}, $$
$$ y_2=\dfrac{98+122}{2}=110. $$

Тогда

$$ x=110+22=132. $$

Значит, один маляр выполнит работу за $$110$$ ч, а другой — за $$132$$ ч.

Ответ

а) $$120$$ листов, $$15$$ дней; б) $$110$$ ч и $$132$$ ч.