Упр.558 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) На уборке урожая два комбайна работали вместе 3 дня. После этого, чтобы закончить работу, первому комбайну потребовалось ещё 4,5 дня. За сколько дней каждый комбайн в отдельности может убрать весь урожай, если первый, работая отдельно, мог бы провести уборку на 2 дня скорее, чем один второй?

а) Пусть первый каменщик выполняет работу за $$x$$ дней, а второй — за $$y$$ дней. Тогда их совместная производительность равна $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$, и по условию

$$ 4{,}8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1. $$

Так как второй каменщик работает на 4 дня быстрее, чем первый, то

$$ y=x-4. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 4{,}8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-4}\right)=1. $$

Умножим на $$x(x-4)$$:

$$ 4{,}8(2x-4)=x(x-4). $$

$$ 9{,}6x-19{,}2=x^2-4x. $$

$$ x^2-13{,}6x+19{,}2=0. $$

$$ 5x^2-68x+96=0. $$

$$ D=68^2-4\cdot 5\cdot 96=4624-1920=2704,\quad \sqrt{D}=52. $$

$$ x=\frac{68\pm 52}{10}. $$

Получаем $$x_1=12$$, $$x_2=1{,}6$$. Значение $$1{,}6$$ не подходит, так как тогда $$y=x-4<0$$. Значит, $$x=12$$, $$y=8$$.

б) Пусть первый комбайн убирает весь урожай за $$x$$ дней, а второй — за $$y$$ дней. Тогда

$$ 3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{4{,}5}{x}=1. $$

По условию первый комбайн работает на 2 дня быстрее второго, значит

$$ y=x+2. $$

Подставим:

$$ 3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}\right)+\frac{4{,}5}{x}=1. $$

Умножим на $$x(x+2)$$:

$$ 3(x+2)+3x+4{,}5(x+2)=x(x+2). $$

$$ 3x+6+3x+4{,}5x+9=x^2+2x. $$

$$ x^2-8{,}5x-15=0. $$

$$ 2x^2-17x-30=0. $$

$$ D=17^2+4\cdot 2\cdot 30=289+240=529,\quad \sqrt{D}=23. $$

$$ x=\frac{17\pm 23}{4}. $$

Получаем $$x_1=10$$, $$x_2=-1{,}5$$. Отрицательное значение не подходит, значит $$x=10$$, а $$y=12$$.

Ответ

а) первый каменщик — 12 дней, второй — 8 дней; б) первый комбайн — 10 дней, второй — 12 дней.