Упр.558 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
- а) Два каменщика, работая вместе, могут выполнить работу за $$4{,}8$$ дня. Второй каменщик, работая отдельно, мог бы выполнить эту работу на $$4$$ дня быстрее, чем первый. За сколько дней каждый каменщик, работая отдельно, мог бы выполнить эту работу?
б) На уборке урожая два комбайна работали вместе $$3$$ дня. После этого, чтобы закончить работу, первому комбайну потребовалось ещё $$4{,}5$$ дня. За сколько дней каждый комбайн в отдельности может убрать весь урожай, если первый, работая отдельно, мог бы провести уборку на $$2$$ дня скорее, чем один второй?
а) Пусть первый каменщик выполняет работу за $$x$$ дней, а второй — за $$y$$ дней. Тогда их совместная производительность равна $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$, и по условию
$$4{,}8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1.$$
Так как второй каменщик работает на 4 дня быстрее, чем первый, то
$$y=x-4.$$
Подставим в первое уравнение:
$$4{,}8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-4}\right)=1.$$
Умножим на $$x(x-4)$$:
$$4{,}8(2x-4)=x(x-4).$$
$$9{,}6x-19{,}2=x^2-4x.$$
$$x^2-13{,}6x+19{,}2=0.$$
$$5x^2-68x+96=0.$$
$$D=68^2-4\cdot 5\cdot 96=4624-1920=2704,\quad \sqrt{D}=52.$$
$$x=\frac{68\pm 52}{10}.$$
Получаем $$x_1=12$$, $$x_2=1{,}6$$. Значение $$1{,}6$$ не подходит, так как тогда $$y=x-4<0$$. Значит, $$x=12$$, $$y=8$$.
б) Пусть первый комбайн убирает весь урожай за $$x$$ дней, а второй — за $$y$$ дней. Тогда
$$3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{4{,}5}{x}=1.$$
По условию первый комбайн работает на 2 дня быстрее второго, значит
$$y=x+2.$$
Подставим:
$$3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}\right)+\frac{4{,}5}{x}=1.$$
Умножим на $$x(x+2)$$:
$$3(x+2)+3x+4{,}5(x+2)=x(x+2).$$
$$3x+6+3x+4{,}5x+9=x^2+2x.$$
$$x^2-8{,}5x-15=0.$$
$$2x^2-17x-30=0.$$
$$D=17^2+4\cdot 2\cdot 30=289+240=529,\quad \sqrt{D}=23.$$
$$x=\frac{17\pm 23}{4}.$$
Получаем $$x_1=10$$, $$x_2=-1{,}5$$. Отрицательное значение не подходит, значит $$x=10$$, а $$y=12$$.
Ответ
а) первый каменщик — 12 дней, второй — 8 дней; б) первый комбайн — 10 дней, второй — 12 дней.
