Упр.557 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
а) Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 8 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 12 ч быстрее, чем второй рабочий. За сколько часов каждый из них может выполнить отдельно эту работу?
б) Двое рабочих, работая вместе, выполнили всю работу за 5 дней. Если бы первый рабочий работал в два раза быстрее, а второй — в два раза медленнее, то всю работу они выполнили бы за 4 дня. За сколько дней выполнил бы эту работу первый рабочий?
а) Пусть первый рабочий может выполнить всю работу за $$x$$ ч, а второй — за $$y$$ ч. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$.
По условию:
$$\begin{cases} 8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1,\\ y=x+12. \end{cases}$$
Подставим $$y=x+12$$ в первое уравнение:
$$8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+12}\right)=1.$$
Умножим на $$x(x+12)$$:
$$8(x+12)+8x=x(x+12).$$
$$8x+96+8x=x^2+12x$$
$$x^2-4x-96=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-96)=16+384=400,$$
$$x=\frac{4\pm 20}{2}.$$
$$x_1=-8 \text{ (не подходит)}, \qquad x_2=12.$$
Значит, первый рабочий выполняет работу за $$12$$ ч, а второй — за $$12+12=24$$ ч.
б) Пусть первый рабочий выполняет всю работу за $$x$$ дней, а второй — за $$y$$ дней. Тогда:
$$\begin{cases} 5\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1,\\ 4\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{2y}\right)=1. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}.$$
Обозначим $$a=\frac{1}{x}$$, $$b=\frac{1}{y}$$. Тогда
$$\begin{cases} a+b=\frac{1}{5},\\ 8a+2b=1. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$2a+2b=\frac{2}{5}.$$
Вычтем его из второго:
$$6a=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5},$$
$$a=\frac{1}{10}.$$
Следовательно,
$$x=10.$$
Ответ
а) $$12$$ ч и $$24$$ ч; б) $$10$$ дней.
