Упр.557 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Двое рабочих, работая вместе, выполнили всю работу за 5 дней. Если бы первый рабочий работал в два раза быстрее, а второй — в два раза медленнее, то всю работу они выполнили бы за 4 дня. За сколько дней выполнил бы эту работу первый рабочий?

а) Пусть первый рабочий может выполнить всю работу за $$x$$ ч, а второй — за $$y$$ ч. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$.

По условию:

$$ \begin{cases} 8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1,\\ y=x+12. \end{cases} $$

Подставим $$y=x+12$$ в первое уравнение:

$$ 8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+12}\right)=1. $$

Умножим на $$x(x+12)$$:

$$ 8(x+12)+8x=x(x+12). $$

$$ 8x+96+8x=x^2+12x $$

$$ x^2-4x-96=0. $$

Найдём корни:

$$ D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-96)=16+384=400, $$
$$ x=\frac{4\pm 20}{2}. $$

$$ x_1=-8 \text{ (не подходит)}, \qquad x_2=12. $$

Значит, первый рабочий выполняет работу за $$12$$ ч, а второй — за $$12+12=24$$ ч.

б) Пусть первый рабочий выполняет всю работу за $$x$$ дней, а второй — за $$y$$ дней. Тогда:

$$ \begin{cases} 5\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1,\\ 4\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{2y}\right)=1. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}. $$

Обозначим $$a=\frac{1}{x}$$, $$b=\frac{1}{y}$$. Тогда

$$ \begin{cases} a+b=\frac{1}{5},\\ 8a+2b=1. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$ 2a+2b=\frac{2}{5}. $$

Вычтем его из второго:

$$ 6a=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}, $$
$$ a=\frac{1}{10}. $$

Следовательно,

$$ x=10. $$

Ответ

а) $$12$$ ч и $$24$$ ч; б) $$10$$ дней.