Упр.556 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Сумма цифр двузначного числа равна 9. Сумма квадратов этих же цифр равна 41. Если от искомого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.
в) В двузначном числе сумма квадратов его цифр равна 25, а произведение их равно 12. Найдите это число.
г) Составьте задачи, аналогичные задачам а) — в), и решите их.

1. а) Пусть искомое двузначное число равно $$10a+b$$, где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц.

   По условию:

   $$10a+b=2ab+5$$
   
   $$10b+a=7(a+b)+3$$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} 10a+b=2ab+5,\\ 10b+a=7a+7b+3. \end{cases} $$

   Из второго уравнения:

   $$10b+a=7a+7b+3$$
   
   $$3b-2a=1$$
   
   $$b=\frac{2a+1}{3}.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$10a+\frac{2a+1}{3}=2a\cdot \frac{2a+1}{3}+5$$
   
   $$30a+2a+1=4a^2+2a+15$$
   
   $$4a^2-30a+14=0$$
   
   $$2a^2-15a+7=0.$$

   $$D=15^2-4\cdot 2\cdot 7=225-56=169,$$
   
   $$\sqrt{D}=13.$$

   $$a=\frac{15\pm 13}{4}.$$

   Подходит только $$a=7$$, тогда

   $$b=\frac{2\cdot 7+1}{3}=5.$$

   Искомое число: $$75$$.

2. б) Пусть число равно $$10a+b$$. Тогда

   $$ \begin{cases} a+b=9,\\ a^2+b^2=41,\\ 10a+b-9=10b+a. \end{cases} $$

   Из третьего уравнения:

   $$9a-9b=9,$$
   
   $$a-b=1,$$
   
   $$a=b+1.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$(b+1)+b=9$$
   
   $$2b=8$$
   
   $$b=4,\quad a=5.$$

   Искомое число: $$54$$.

3. в) Пусть число равно $$10a+b$$. Тогда

   $$ \begin{cases} a^2+b^2=25,\\ ab=12. \end{cases} $$

   Так как $$ab=12$$, то подходят пары цифр $$3$$ и $$4$$. Проверяем:

   $$3^2+4^2=9+16=25.$$

   Значит, число может быть $$34$$ или $$43$$.

4. г) Пример аналогичных задач и ответы:

   • Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится $$7$$ и в остатке $$6$$. Если это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится $$3$$, а в остатке — сумма цифр.
     Ответ: $$83$$.
   • Сумма квадратов цифр двузначного числа равна $$13$$. Если от этого числа отнять $$9$$, получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
     Ответ: $$32$$.
   • В двузначном числе сумма квадратов цифр равна $$5$$, а произведение цифр равно $$2$$.
     Ответ: $$21$$ или $$12$$.

Ответ

а) $$75$$; б) $$54$$; в) $$34$$ или $$43$$; г) примеры приведены выше.