Упр.554 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Найдите два числа, если отношение суммы этих чисел к их разности равно 8 : 1 и разность квадратов этих чисел равна 128. Сколько решений имеет задача?

Подробный ответ

а) Пусть числа равны $$a$$ и $$b$$. Тогда по условию:

$$ \begin{cases} a^2+2b=-7,\\ a-b=11. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $$b$$:

$$ b=a-11. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ a^2+2(a-11)=-7 $$
$$ a^2+2a-22+7=0 $$
$$ a^2+2a-15=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=4+60=64, $$
$$ \sqrt{D}=8. $$

$$ a_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2} $$
$$ a_1=-5,\quad a_2=3. $$

Найдём соответствующие значения $$b$$:

$$ b_1=-5-11=-16,\quad b_2=3-11=-8. $$

Значит, числа: $$-5$$ и $$-16$$ или $$3$$ и $$-8$$.

б) Пусть числа равны $$a$$ и $$b$$. Тогда:

$$ \begin{cases} \dfrac{a+b}{a-b}=8,\\ a^2-b^2=128. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ a+b=8(a-b) $$
$$ a+b=8a-8b $$
$$ 7a=9b $$
$$ a=\dfrac{9}{7}b. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ a^2-b^2=128 $$
$$ \left(\dfrac{9}{7}b\right)^2-b^2=128 $$
$$ \dfrac{81}{49}b^2-b^2=128 $$
$$ \dfrac{32}{49}b^2=128 $$
$$ b^2=128\cdot\dfrac{49}{32}=196. $$

$$ b=\pm 14. $$

Тогда

$$ a=\dfrac{9}{7}b \Rightarrow a=\pm 18. $$

Получаем пары чисел: $$18$$ и $$14$$ или $$-18$$ и $$-14$$. Задача имеет два решения.