Упр.553 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ м и $$b$$ м.

   Тогда

   $$\begin{cases} 2(a+b)=25,\\ ab=34. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$a=\dfrac{25}{2}-b$$. Подставим во второе:

   $$\left(\dfrac{25}{2}-b\right)b=34$$

   $$25b-2b^2=68$$

   $$2b^2-25b+68=0$$

   $$D=25^2-4\cdot 2\cdot 68=625-544=81$$

   $$b=\dfrac{25\pm 9}{4}$$

   $$b_1=4,\quad b_2=8{,}5$$

   Тогда соответствующие стороны прямоугольника: $$4$$ м и $$8{,}5$$ м.

2. Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ см и $$b$$ см.

   Тогда

   $$\begin{cases} 2(a+b)=10{,}6,\\ ab=6{,}72. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$a+b=5{,}3$$, значит $$a=5{,}3-b$$.

   Подставим во второе:

   $$(5{,}3-b)b=6{,}72$$

   $$b^2-5{,}3b+6{,}72=0$$

   Умножим на $$100$$:

   $$100b^2-530b+672=0$$

   $$D=530^2-4\cdot 100\cdot 672=280900-268800=12100$$

   $$b=\dfrac{530\pm 110}{200}$$

   $$b_1=2{,}1,\quad b_2=3{,}2$$

   Следовательно, стороны прямоугольника: $$2{,}1$$ см и $$3{,}2$$ см.

3. Пусть одна сторона прямоугольника равна $$a$$ дм, тогда другая равна $$a+4$$ дм.

   Сумма площадей четырёх квадратов, построенных на сторонах прямоугольника, равна

   $$2a^2+2(a+4)^2=52$$

   $$2a^2+2(a^2+8a+16)=52$$

   $$4a^2+16a+32=52$$

   $$4a^2+16a-20=0$$

   $$a^2+4a-5=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot (-5)=36$$

   $$a=\dfrac{-4\pm 6}{2}$$

   $$a_1=-5 \text{ (не подходит)},\quad a_2=1$$

   Тогда вторая сторона равна $$1+4=5$$ дм.

4. Составим аналогичную задачу: стороны прямоугольника равны, а сумма площадей четырёх квадратов, построенных на его сторонах, равна $$4$$ дм$$^2$$. Найти стороны прямоугольника.

   Пусть сторона прямоугольника равна $$a$$ дм. Тогда

   $$2a^2+2a^2=4$$

   $$4a^2=4$$

   $$a^2=1$$

   $$a=1$$

   Значит, прямоугольник — квадрат со стороной $$1$$ дм.

Ответ

а) $$4$$ м и $$8{,}5$$ м; б) $$2{,}1$$ см и $$3{,}2$$ см; в) $$1$$ дм и $$5$$ дм; г) например, квадрат со стороной $$1$$ дм.