Упр.553 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Периметр прямоугольника равен 10,6 см, а площадь — 6,72 см2. Определите стороны прямоугольника.
в) Одна из сторон прямоугольника на 4 дм больше другой, а сумма площадей четырёх квадратов, построенных на сторонах прямоугольника, равна 52 дм2. Определите стороны прямоугольника.
г) Составьте задачу, аналогичную предыдущей задаче, и решите её.

1. Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ м и $$b$$ м.

   Тогда

   $$ \begin{cases} 2(a+b)=25,\\ ab=34. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$a=\dfrac{25}{2}-b$$. Подставим во второе:

   $$ \left(\dfrac{25}{2}-b\right)b=34 $$

   $$ 25b-2b^2=68 $$

   $$ 2b^2-25b+68=0 $$

   $$ D=25^2-4\cdot 2\cdot 68=625-544=81 $$

   $$ b=\dfrac{25\pm 9}{4} $$

   $$ b_1=4,\quad b_2=8{,}5 $$

   Тогда соответствующие стороны прямоугольника: $$4$$ м и $$8{,}5$$ м.

2. Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ см и $$b$$ см.

   Тогда

   $$ \begin{cases} 2(a+b)=10{,}6,\\ ab=6{,}72. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$a+b=5{,}3$$, значит $$a=5{,}3-b$$.

   Подставим во второе:

   $$ (5{,}3-b)b=6{,}72 $$

   $$ b^2-5{,}3b+6{,}72=0 $$

   Умножим на $$100$$:

   $$ 100b^2-530b+672=0 $$

   $$ D=530^2-4\cdot 100\cdot 672=280900-268800=12100 $$

   $$ b=\dfrac{530\pm 110}{200} $$

   $$ b_1=2{,}1,\quad b_2=3{,}2 $$

   Следовательно, стороны прямоугольника: $$2{,}1$$ см и $$3{,}2$$ см.

3. Пусть одна сторона прямоугольника равна $$a$$ дм, тогда другая равна $$a+4$$ дм.

   Сумма площадей четырёх квадратов, построенных на сторонах прямоугольника, равна

   $$ 2a^2+2(a+4)^2=52 $$

   $$ 2a^2+2(a^2+8a+16)=52 $$

   $$ 4a^2+16a+32=52 $$

   $$ 4a^2+16a-20=0 $$

   $$ a^2+4a-5=0 $$

   $$ D=4^2-4\cdot 1\cdot (-5)=36 $$

   $$ a=\dfrac{-4\pm 6}{2} $$

   $$ a_1=-5 \text{ (не подходит)},\quad a_2=1 $$

   Тогда вторая сторона равна $$1+4=5$$ дм.

4. Составим аналогичную задачу: стороны прямоугольника равны, а сумма площадей четырёх квадратов, построенных на его сторонах, равна $$4$$ дм$$^2$$. Найти стороны прямоугольника.

   Пусть сторона прямоугольника равна $$a$$ дм. Тогда

   $$ 2a^2+2a^2=4 $$

   $$ 4a^2=4 $$

   $$ a^2=1 $$

   $$ a=1 $$

   Значит, прямоугольник — квадрат со стороной $$1$$ дм.

Ответ

а) $$4$$ м и $$8{,}5$$ м; б) $$2{,}1$$ см и $$3{,}2$$ см; в) $$1$$ дм и $$5$$ дм; г) например, квадрат со стороной $$1$$ дм.